Gyök3-szor siny + 4x = xnégyzet - cosy + 6. Hogyan lehet ezt megcsinálni?

Rendezd az egyik oldalra a trigonometrikus, másik oldalra a közönséges változókat!

Az

gyök(3)*sin(y)+cos(y)=xnégyzet-4x+6

egyenletet kapod.

A jobb oldalnak nincs zérushelye.

Minimuma x=2-nél f(2)=2,

mert f'(x)=2x-4.

A bal oldal g(y)=2*[(gyök(3)/2)*sin(y)+(1/2)*cos(y)],

amiben két szög összegének a szinusza rejtőzik, esetünkben

y-nak és 30 foknak, pi/6-nak.

{ sin(y+z)=sin y * cos z + cos y * sin z }

Így a bal oldalon 2*[sin(y+pi/6)] áll.

Tudjuk, hogy a bal oldal -2<=g(y)<=2,

a jobb oldal pedig f(x)>=2.

Megoldás tehát csak akkor van, ha g(y)=2 és f(x)=2.

A bal oldalon sin(y+pi/6)=1 oldandó meg.

A megoldás

y+pi/6=(pi/2)+2*k*pi,

vagyis y=(pi/2-pi/6)+2*k*pi,

azaz y=(pi/3)+2*k*pi, ahol k egész szám,

===============

x=2.

===

Ellenőrzés:

gyök(3)*gyök(3)/2+1/2= 2*2-4*2+6

3/2+1/2=4-8+6

2=2.

===