Egy normális eloszlású valószínőségi változó 0,2 valószínőséggel vesz fel 8,4-nél kisebb értéket, és 0,25 valószínőséggel 12,8-nál nagyobbat. Mennyi a várható értéke és a szórása?

És mi vele a gond? Két képlet, egy trükk, egy egyenletrendszer (két ismeretlennel), egy táblázat és egy számológép kell hozzá.

A két képlet: P(x<a)=Φ((a-μ)/σ) és P(b>x)=1-Φ((μ-b)/σ). (Imádkozom, hogy a görög betűket átvigye a szövegdoboz beküldés után is.)

Kell a standard normál táblázat a phi-értékekkel. És egy számológép.

Felírhatod, hogy 0,2=phi(8,4-mű/szigma) és 0,25=1-phi(mű-12,8/szigma). Két képlet megvan, öröm. A másodiknál rendezel, 0,75=phi(mű-12,8/szigma). A phi-értékek 0,5-nél nagyobbak, ennélfogva először foglalkozunk ezzel, a msáikra visszatérek.

Kis táblázatolás után kijön, hogy a 0,7486 érték áll a legközelebb a 0,75-höz, az ehhez tartzó (x) 0,67, vagyis mű-12,8/szigma=0,67.

A másik cselesebb. Mivel a 0,2 kisebb, mint a 0,5, ezért át kell alakítani. Ilyenkor azt a trükköt alkalmazzuk, hogy phi(-x)=1-phi(x), tehát 0,2=1-phi(mű-8,4/szigma) [ugyebár ez a -1-gyel szorzott osztás eredménye] - ebből 0,8=phi(valami), azaz mű-8,4/szigma=0,85 (a 0,8-hoz a 0,8023 áll a legközelebb). Van két egyenletet, két ismeetlen, egyenletrendszerre fel.

Feltételezem, megoldani nem nehéz (beszorzod mindkettőt szigmával, összeadod, kijön szigma étéke, behelyettesítesz az elsőbe, mevan mű). Mivel a mű a várható érték, szigma meg a szórás, készen is vagy. Megfelelő számú értékes jegyre kerekíted (mondjuk három), örülsz neki. (Nálam a mű 10,86 és a szigma 2,895 körüli, kerekítéstől függően.)