Egy háromszög egyértelműen megszerkeszthető csak a súlyvonalak ismeretében?

Azt kell kihasználni, hogy a súlypont 1:2 arányban metszi a súlyvonalakat. A háromszög csúcsait jelölje A,B,C. Az A-hoz tartozó súlyvonal alatt azt a súlyvonalat értem, aminek A az egyik végpontja, és a BC oldal felezőpontja a másik.

Az A-hoz tartozó súlyvonalat akárhogy lerajzolhatom még a síkra, kijelölöm az egyik harmadolópontját, az lesz a súlypont, a hozzá közelebbi végpont a BC oldal felezőpontja, a távolabbi az A csúcs. Mivel tudom, hogy a B-hez tartozó súlyvonal mondjuk r hosszú, ezért tudom, hogy a B 2/3 r távolságra van a súlyponttól, tehát rajzolhatok a súlypont köré egy 2/3 r sugarú kört, hogy a B csak azon mozoghat.

Viszont ha B helyét már kijelöltem, akkor mivel már megvan a BC szakasz felezőpontja, ezért a C helyét is tudni fogom: B-t középpontosan tükrözöm a BC felezőpontjára. Tehát mivel a B csak ezen az előbb említett körön lehet, ezért C pedig csak ennek a körnek a BC felezőpontjára vett középpontos tükörképén lehet, ami egy másik kör lesz, aminek viszont már nem a súlypont a középpontja.

Ez azért jó nekünk, mert hasonlóan a C-ről is tudjuk, hogy ha a hozzá tartozó súlyvonal hossza t, akkor 2/3 t távolságra van a súlyponttól, ezért a súlypont köré rajzolt 2/3 t sugarú körön mozoghat. Így C két körön is rajta van, amik mivel nem ugyanaz a súlypontjuk, ezért különböző körök, tehát maximum két metszéspontjuk van, tehát C maximum két helyen lehet, ez a kettő meg szimmetrikusan fog elhelyezkedni az A-hoz tartozó súlyvonalra, mint szimmetriatengelyre nézve, tehát lényegében ugyanazt a háromszöget adják, csak szimmetrikusan tükrözve (tehát hogy az órajárással megegyező sorrendben nézve a csúcsokat ABC vagy ACB sorrendben állnak), tehát ebből kijött, hogy a súlyvonalak szimmetria erejéig egyértelműen meghatározzák a háromszöget.

Nekem van egy másik megoldásom.

Lásd

[link]

Az első ábrán a megoldott feladat látható a berajzolt súlyvonalakkal

A 2. ábra P pontját úgy lehet megkapni, hogy az Sb-t önmagával párhuzamosan elcsúsztatom a BC szakaszon (a oldal) annak felező pontjáig, majd az Sc-t az AB szakaszon (c oldal) az A pontig.

A 'P' pontot az Sa felező pontjára tükrözve kapom a Q pontot

Így létrejött az AQA'P paralelogramma, melynek oldalai és az egyik átlója a megadott súlyvonalak.

A PQ átlót behúzva a 2. ábráról leolvasható a szerkesztés menete.

Lépések

1. Az AA' (Sa) felmérése egy egyenesre

2. A P és Q pontok szerkesztése (Az Sb ill. Sc szakasznyi körzőnyílással)

3. A PQ átló meghúzása

4. Az A'P szakasz felező pontjának szerkesztése (F1pont)

5. Az A'Q szakasz felező pontjának szerkesztése (F2pont)

6. Az A és F1 pontokon átmenő egyenesre a P' pontból felmérni az AP' szakaszt (C pont)

7. Az A és F2 pontokon átmenő egyenesre a Q' pontból felmérni az AQ' szakaszt (B pont)

Ezzel készen is vagyunk.

Ilyen feladatoknál felmerül a szerkeszthetőség feltétele. Mélyebben még nem merültem el a probléma elemzésébe, de úgy tűnik, hogy ha a három, súlyvonalként megadott szakasz eleget tesz a háromszög egyenlőtlenségnek, a feladat megoldható.

DeeDee

************