Van funkcionális különbség osztásnál a : és a / jel között?

A művelet elvégzése szempontjából nincs különbség ankét jel között.

Annyi van, hogy az arányokat inkább a kettősponttal szokták jelölni.

No, ez a vesszőparipám. Ugyanis fontos különbség van a kettő között.

A szorzás egy kétoperandusú művelet: a * b = c

Ennek két inverz művelete van, mikor b és c ismert, és ebből kell a-t megállapítani. És mikor a és c ismert és ebből kell b-t megállapítani. Mivel a szorzás kommutatív művelet, azaz a*b=b*a (bármely a és b esetén), ezért az eredménye – ha a számokat nézzük – mindkét inverz műveletnek ugyanaz. Legalábbis a valós, illetve komplex számok halmazáig bezárólag így van.

Van, mikor a szorzás valóban két azonos természetű mennyiség között történik. Pl. mikor egy téglalap területét számoljuk ki a két oldal szorzatából, akkor a két oldal azonos természetű, mivel a téglalap térfogata független a forgatottságtól, esetleges, hogy melyik oldalt tekintjük szélességnek és magasságnak.

De van, mikor a szorzás két különböző természetű mennyiség között történik. Pl. ha egy csomagban 10 rágó van és 7 csomagom van, akkor a rágók száma:

10 rágó/csomag * 7 csomag = 70 rágó.

Itt az egyik szorzótényezőnek ha mértékegységet akarunk fabrikálni, akkor az egy csomagszám lesz, a másiké egy darab/csomag mértékegységű mennyiség.

~ ~ ~

És akkor a két művelet értelmezése ezen utóbbi eset fényében.

A 12 / 4 értelme az, hogy mennyi 12 osztva 4-gyel, azaz ha van 12 valamid (legyen ez mondjuk alma), amit 4 (azonos méretű) csomagra bontasz, akkor egy csomagban hány darabod lesz.

12 = 🍎🍎🍎 + 🍎🍎🍎 + 🍎🍎🍎 + 🍎🍎🍎

4 csomag van, négyfelé osztottuk a 12 almát, és azt kaptuk, hogy egy csomagban 3 alma van.

(darab) / (csomagok száma) = (darab/csomag)

A 12 : 4 értelme az, hányszor van meg a 12-ben a 4, azaz hogy ha van 12 almád, akkor abban hányszor van meg a 4 alma, hány négyalmás csomagot tudsz csinálni a 12 almából.

12 = 🍎🍎🍎🍎 + 🍎🍎🍎🍎 + 🍎🍎🍎🍎

A 12-ben a 4 darab alma megvan egyszer, aztán még egyszer, aztán megvan harmadszor is, és itt fogytak el az almák.

(darab) : (darab/csomag) = (csomagok száma)

Ez még úgy az általános iskola első éveiben jól meg is különböztetik. Persze a gyerekek rájönnek, hogy igazából mindegy, hogy mi a jel, mi a művelet valójában, az eredmény az ugyanaz, és elfelejtik, hogy a két művelet jellege teljesen más.

~ ~ ~

A dolog pont a törtek megjelenésénél tűnik el, pedig pont ott lenne kardinális kérdés. Az osztást is, a bennfoglalást is felváltja a törtvonal.

És akkor nézzük meg, hogy mi van, a törttel osztunk. Mennyi 4 osztva 1/2-el? A gyerek érteni véli a dolgot. Osztani kell. Méghozzá felezni. A 4-et meg ha elfelezzük, akkor 2-t kapunk. Világos. A tanár meg mondja, hogy no-no, nem 2-vel kell osztani hanem féllel. Te igazából megszoroztad a 4-et 1/2-del, és nem osztottál vele. A gyerek meg néz furcsán, hogy mi van. Ha kitartó, akkor megtanulja, hogy itt igazából nem osztani kell, hanem szorozni, de már a matematika a fejében elszakad a valóságtól, a matematika számára valami furcsa, érthetetlen, sőt értelmetlen szabályrendszer lesz, amit be kell magolni. Más meg nem tudja ugyan jól megmagyarázni, de mégis ráérez a dolog nyitjára és megtanul jól számolni törtekkel. De a törttel való osztást ő sem fogja tudni jól megmagyarázni.

Mert 1/2-del nem lehet osztani. Osztani egész számokkal lehet az életben. De az, hogy a 4-ben hányszor van meg az 1/2-ed az mindjárt sokkal jobban érthetővé válik. Hát van 4 pizzám. Tudok adni az elsőből egy fél pizzát Aladárnak, Bélának, a második pizzából Cecilnek és Dénesnek, a harmadik pizzából Elemérnek és Ferencnek, a negyedikből meg Gézának és Hugónak. A fél pizza 8-szor is megvolt a 4 pizzában. Mindjárt értelmet nyer, hogy mi a törttel való „osztásnak” a valós jelentése.

Persze idővel kell egyfajta absztrakciós készség, meg bizonyos komplexitás után már nehéz egy matematikai kifejezés valós mibenlétét jól láttatni, de ezt ki lehetne tolni egy kicsit későbbre, mikorra a diák már érti a törtekkel való alapvető műveletvégzések valódi mibenlétét.

(Aztán persze ha kicsit magasabb szintre megyünk, a / és a : jelek közötti különbség már nem ennyire az osztás és a bennfoglalás műveletét tükrözik, inkább szokásokról van már csak szó. Pl. az, hogy az arányt : jellel jelöljük, az is inkább egy szokás, mintsem annak a jelzése, hogy itt bennfoglalásról lenne szó.)

"Arányokat? Ezt bevallom nem értem. :("

Például amikor megadják egy makettnak az eredetihez való arányát azt így írják: 1:87 (1 aránylik a 87-hez). Ez azt jelent, hogy ami az eredeti pl. járművön 87 cm, az a maketten 1 cm lesz.

Az a jel egy nagyon régi, már a 17. században is létezett osztás értelemben (de korábbi előképei is vannak). A hivatalos modern matematikai jelölések között nem szerepel, néhány országban "nem hivatalosan" használják mint osztás jelet, viszont más országokban jelenthet mást (is). A kora újkorban a maradékot jelentette, tehát amit ma a "modulo" parancs a számítástechnikában. A régi jelentése tehát: 12÷2=0 (mert 12 osztva 2-vel az nulla maradékot ad), 17÷5=2 (mert 17 osztva 5-tel 2 maradékot ad).

A számológépekre nyilván először azokban az országokban került rá, ahol osztásként használják (és aztán sztenderd lett), de nagyon ritkán van hogy más jelet raknak számológépre.

[link]

Az a gond – vagy hát a fene tudja, hogy gond-e –, hogy a matematikának nincs sem Bibliája, sem törvénykönyve. Hogy egy-egy matematikus a saját írásaiban milyen jelölést használt, az esetleges. Néha valamelyik elődje jelölésrendszerét vette át, néha meg kitalált valami újat. Egy idő után már inkább csak a nagy klasszikusok valamelyikének a jelölését használta, ki ezt, ki azt.

Van olyan jelölés, ami teljesen egységessé vált. Van, ahol több különböző jelölés is megmaradt. Van, ahol a különböző jelöléseket aztán teljesen új alapon kaptak új megkülönböztető jelleget.

Az osztás is kicsit ilyen. Van a / jel, a : jel, a tört jelölés, ahol a számlálót és nevezőt egy függőleges vonal választja el, viszonylag még ismertebb a ÷ jel is, de használták a \ jelet is (valahol az osztó és az osztandó itt felcserélődött azaz a 3\12 jelentése az, hogy hárommal osztva a 12-t), a százalékhoz nagyon hasonló ⁒ jelet is használták még, de az a)b jelölésre is van példa.

Persze az oktatásban egy következetesebb jelölésrendszer kell, mikor én tanultam a matematikát – és tudtommal ma sincs máshogy – a : jellel a bennfoglalást, a / jellel az osztást szokták következetesen jelölni, illetve van még a tört, ami már egy absztraktabb szinten a két művelet ekvivalenciája miatt a két művelet összevonása. A ÷ jelet általában nem használják a magyar matematika tankönyvekben és a matematikában úgy általában, legfeljebb a matematika néhány speciális területén. (Amúgy néhány európai országban időben a kivonást jelölték ezzel a szimbólummal. Máshol a maradékos osztás utáni maradékot jelölték vele.) Az ISO 80000-2-es szabvány szerint nem szabad használni ezt a jelölést. (Pont azért is, mert a jelentése különböző kultúrákban, országokban eltérő lehet.) Viszont az első számológépeknél valahogy ezt a jelet használták, így hagyományosan a számológépeknél megmaradt ez a jelölés. Bár vannak olyan számológépek, ahol ezt már a / vagy a : jellel helyettesítik. (Kicsit olyan ez, mint a római számmal leírt négyes. Kvázi mindenhol a IV jelölés lett az egyedüli helyes jelölés, de a tradíció miatt – sokak szerint esztétikai okok miatt is – az órákon a leggyakrabban mégis a IIII jelölést használják.)

Az én használatomban annyi a különbség, hogy a törtvonal zárójelet helyettesít. Kézírásban ez jól megnyilvánul és látható. Ha ASCI karakterekkel írok, akkor sajnos a per-jel után is meg a kettőspont osztásjel után is ki kell tennem a zárójelet, ha egyértelmű akarok lenni.

A lentebbi linken jól látható miről beszélek. Ha a számláló több tag, akkor törtvonal esetén egyértelmü, hogy mit kell osztani, és nem kell zárójel:

[link]