Egy szabályos tetraéder súlypontja megegyezik a köré írható kör középpontjával?

Tetraéder köré gömböt tudsz rajzolni, nem kört. De igen, megegyezik a gömb középpontjával.

Ez igaz egyébként minden más szabályos testre is, hogy mindenféle ilyen pontjuk egy pontra esik, a test középpontjára.

Szemléltetés; indirekt tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, tehát valahol máshol van a súlypont (például inhomogén test esetén így is lenne, de most homogénként kezeljük). Ennek a testnek húzzuk be az egyik tükörsíkját (ugyanaz, mint a síkidomok esetén a tükörtengely, csak ez nem egyenes, hanem sík). Ha erre tükrözzük a testeket, akkor az eredeti testeket kapjuk vissza, természetesen a súlypont is tükröződik. Azt azért tudjuk, hogy minden testnek pontosan 1 súlypontja van, így két lehetőség van; ha a súlypont nem a tükörsíkon van, akkor áttükröződött, így viszont ugyanannak a testnek 2 súlypontja kell, hogy legyen, ami nem lehet igaz, vagy valahol a tükörsíkon van, és akkor a tükrözéssel a helyén marad.

A szabályos tetraédernek 4 tükörsíkja van, a fentiek szerint így a súlypontnak a 4 tükörsíkon EGYIDŐBEN kell elhelyezkednie, vagyis a négy sík metszéspontjában, már ha létezik a metszéspontjuk. Mivel a gömb középpontján biztosan áthalad mind a négy sík, ezért ez a metszéspont létezik, tehát a középpont egyben a tetraéder súlypontja is.