Vajon nagyobb a kifejezőereje egy integrál 0-tól 1-ig b(t) x^t dt x-változós függvénynek, mint a szumma t=0-tól végtelenig a[t] x^t x-változós hatványsornak?

1. Gyakran egy határozott integrál értékét könnyebb meghatározni, mint egy véges sorét. Végtelen sor értékét meg soha nem számoljuk, hanem különféle technikákkal becsüljük.

2. A kérdés értelmetlen (hiányos). Az iskolában a fogalmi megismerés és használatra való készség megtanítása érdekében mindkettővel foglalkoznak. Ott a cél az elsajátítás. A gyakorlati életben az elsődleges kérdés a pontosságigény. Ez határozza meg az ismert módszerek közötti választást. Sok esetben ezt még befolyásolja a munka elvégzésének költsége, a kettő egyensúlyára törekednek.

Gondolj bele, hogy egy x^n, ahol n>1 már nem tudnál kifejezni az integrállal, azaz biztos, hogy nem "nagyobb a kifejezőereje", mint a polinomoknak.

Különben is, a polinomok sűrűek a folytonos függvények terén, azaz minden folytonos függvényt le tudunk írni polinomokkal. Ha nem folytonos a vizsgált függvényünk, akkor izgalmas, hogy x hatványokkal le tudjuk-e írni. Megnézhetjük a Fourrier sort, és a Fourrier integrált, mint hasonló probléma. A Fourrier sor sűrű a 2 pi periodikus folytonos függvények terén, azaz minden 2 pi periodikus függvényt Fourrier sorba tudunk fejteni. No, de mi van a nem 2 pi periodikus függvényekkel? Erre jó a Fourrier integrál, ahol nem egész számú frekvenciák lehetnek csak, hanem tetszőleges értékek, és ezeket integráljuk frekvencia szerint 0 és végtelen között. A fontos dolog itt, hogy az integrál 0 és végtelen között van, és nem 0 és 1 között. Ennek analógiájaként valószínűleg a polinomoknál is 0-tól végtelenig kéne integrálni, és akkor lehet, hogy a nem folytonos függvények is eírhatóak lennének velük. Bár ez csak egy ötlet, azaz nem bizonyítottam be matematikailag.

Nem jó a [0,1] itntegrál a [0,\inf] integrál helyett, attól még, hogy ugyanakkora a kardinalitásuk, hiszen nem ugyanaz az intervallum. Arra jó, hogy azonos a kardinalitásuk, hogy a kettő között tudunk homomorfizmust értelmezni. Azaz jó lehet a [0,1] integrál, ha x^t-helyett x^ctg(t/pi)-t használsz, mert ezzel a [0,1] intervallumot leképezed a teljes térre. És itt használhatod ki, hogy a két kardinalitás egyenlő, hogy tudsz köztük szép leképezést csinálni.

#1-esnek pedig:

"Végtelen sor értékét meg soha nem számoljuk, hanem különféle technikákkal becsüljük."

Ez a mondat nem igaz. Például ott van a végtelen mértani sor, amiről könnyen el tudjuk dönteni, hogy konvergens, vagy divergens, és ha konvergens, akkor meg tudjuk adni a sor összegét.

Vagy akár a Taylor, és Fourrier sorok. Itt mindkettő esetén adott bizonyos soroknál meg tudjuk adni a konkrét függvényt, azaz össze tudjuk adni a végtelen sort.