Hogyan lehet interpolálni különleges esetben?

Ha jól értem, akkor ez a függvényed (rekurzív alakban);

f(1) = 2

f(x) = 2^f(x-1)

Csináljuk azt, hogy felírjuk a sorban következő tagot:

f(x+1) = 2^f(x), de f(x) értéke ismert, így = 2^(2^(f-1))

Ebből már nagyjából lehet látni, hogy az f(x) függvény így írható fel:

f(x)=2^2^2^...^2, ahol x darab 2-es van, persze ha x pozitív egész.

Hogy ez folytonossá tehető-e, és ha igen, akkor hogyan, az egy jó kérdés.

Az ember elsőre valami ilyesmi megoldásra gondolna, viszont ezzel sérül a rekurziós feltétel, ami egy erős feltételnek mondható.

Én inkább valami ilyesmi vonalon indulnék el;

f(x)=x+1, hogyha 0<x<=1, ha pedig x>1, akkor f(x)=(x+1-k)^(x+1-k)^...^(x+1-k), ahol k alkalmas konstans, és a hatványtorony k darab hatványjelet tartalmaz. A k-ról; a k egy olyan nemnegatív egész szám, ami az x helyére behelyettesített számot a (0;1] intervallumba csökkenti.

Ez alapján az f(4,5) értéke így nézne ki; a 4,5-ből 4-et kell levonni, hogy 0,5-et kapjunk, így 4 darab „^” fog szerepelni, tehát

f(4,5)=1,5 ^ 1,5 ^ 1,5 ^ 1,5 ^ 1,5

Látható, hogy a rekurzió így megvalósul;

f(0,5) = 0,5 + 1 = 1,5

f(1,5) = 1,5 ^ 1,5

f(2,5) = 1,5 ^ 1,5 ^ 1,5

f(3,5) = 1,5 ^ 1,5 ^ 1,5 ^ 1,5

f(4,5) = 1,5 ^ 1,5 ^ 1,5 ^ 1,5 ^ 1,5, ennek az értéke így 2,592 három tizedesjegy pontossággal.

Ha minden igaz, akkor ez egy szigorúan monoton növő függvény (ahogyan az x^x kifejezés is az, hogyha x>1), és folytonos is, így biztosan létezik inverze (más kérdés, hogy leírható-e használható formában matematikailag), így pedig nem tudom, hogy például a 10^100-ra megadható-e valamilyen számítási mód, de közelítő módszer biztosan adható rá.

Azt mindenképp meg tudjuk tenni, hogy az eredeti rekurzióból indulunk ki; keressük az f(x)>=10^100 egyenlőtlenség legkisebb egész megoldását. Ha ez megvan, akkor azt biztosan meg tudjuk mondani, hogy a hatványtorony hány „^” jelet tartalmaz; tehát ezt tudjuk felírni;

2^2^2^...^2 > 10^100, majd itt addig vesszük mindkét oldal 2-es alapú logaritmusát, míg a jobb oldal értéke nem lesz 2-nél kisebb. Ahányszor vennünk kell, annyi „^” jelet kell használnunk az x^x^x^...^x=10^100 egyenletben.

Persze maga a függvény végtelen+1 módon felírható, elvégre véges sok pontra végtelen sok függvény fektethető, a kérdés csak az, hogy a megadott pontokra felírt összefüggésekből mit akarunk megtartani. Mint írtam, a rekurzió egy „erős” feltétel, ami azt jelenti, hogy egy fontos tulajdonság, ami a függvényt jól (illetve most elmondható, hogy a legjobban) jellemzi, így érdemes olyan számítást keresni, ami ezt a tulajdonságot megtartja.

Mint írtam, egy rakat módon lehet a pontokra illeszteni függvényt, cserébe valamilyen tulajdonsággal fog rendelkezni a függvény, másokkal meg nem.

Azt is megteheted például, hogy szakaszokkal összekötöd a pontokat, ekkor az f(4,5) értéke pont (f(4)+f(5))/2 lesz. Vagy kitalálhatsz akármit, és az alapján fogod a többi függvényértéket megkapni. De amíg nem definiálod valahogyan a függvényt úgy, hogy valamilyen számhalmazon értelmes legyen, addig csak az mondható el, hogy akármennyi lehet adott helyen a függvényérték (vagy az is lehet, hogy ott nem is értelmezhető, gondoljunk csak a gamma-függvényre a negatív egész helyeken).