Adott egy X m2-es terület. Ezt szeretnénk körbe keríteni kerítéssel. Számít az, hogy milyen alakú a terület? (Elméleti kérdés)

Ez már nem általános iskolai matek, középiskolában tanítják.

De mondjuk fizikából is: miért is húzódik össze egy csepp víz gömb alakra?

Sőt, ha csak téglalap alakú a telek, akkor sem mindegy, hogy mekkorák az oldalai.

Maradjunk az 1000 m^2-nél. Ha az egyik oldala x méter hosszú, akkor a másik 1000/x méter hosszú, mivel ekkor lesz a kettő szrozata 1000 m^2. Akkor most nézzük meg ennek a kerületét:

2*(x+1000/x)

Látható, hogy az x sajnos nem tűnt el a végére, így ez azt jelenti, hogy a kerület függ az oldalak hosszától, még úgyis, hogy egyébként a területük ugyanakkora.

"Más megközelítésből: ha négyzet alakú a terület, akkor 126.5 méteres kerítés elég körbekeríteni. Hogyan lehet az, hogy ha más milyen a terület alakzata, akkor hosszabb kerítés kell?"

Ezt te magad is könnyedén be tudod látni; vágj ki egy négyzetet egy papírlapból (nagysága mindegy). Most ezt a négyzetet egy egyenes vágással vágd két részre (a legegyszerűbb, hogyha az oldalakkal páthuzamosan, vagy átló mentén vágod el), ekkor a két rész összterülete még mindig ugyanakkora lesz, mint az eredeti négyzeté volt. Most fogd ezt a két darabot, és tedd egymás mellé úgy, hogy egy összefüggő síkidomot kapj (lehetőleg ne az eredeti négyzetet kapd vissza). Értelemszerűen a terület ugyanakkora, az alakja megváltozott, kérdés, hogy mi a helyzet a kerülettel. Nem nehéz belátni, hogy új szakaszok, így oldalak keletkeztek, mások az összeillesztésnél eltűntek, de intuitíven is lehet érezni, hogy "nagy szerencse" kell ahhoz, hogy ugyanannyi szakaszhossz tűnjön el, mint amennyi keletkezett, tehát a kapott síkidom kerülete jó eséllyel változik az eredetiéhez képest.

Jobban érthető a dolog, hogyha amikor felvágod a síkidomot, akkor a vágás mentén elcsúsztatod egymáson a két részt, ezzel egy konkáv síkidomot kapsz, és nyilván nőtt a kerülete az eredetiéhez képest.

Kérdező, úgy is szemlélheted, hogy minden terület valamekkora egységekből áll. Az 1000 m2-es kertnél a m2 az egység.

Az 1000 m2 azt jelenti, hogy ezer darab 1 m2-es terület. Egy ilyennek ugye 4 oldala van (mert négyzet), vagyis 4 darab 1 m hosszú szakasz határolja.

Ha két ilyened van, akkor 2 m2 az összterületük, és 2x4 darab 1 méteres szakasz határolja őket.

Csak ugye egy egybefüggő, 2 m2 területű téglalapnál 2 darab szakaszt ezek közül nem számolunk, mert közösek, a két darab 1 m2-es területű sikidomunk összeillesztése folyamán "eltűnnek". 8 szakaszunk volt, 6 van, és valóban, 2 m2-es területű lapnak 6 méter a kerülete.

Most vegyünk még kettő ilyen lapot. Igy összesen 4 darab 1 m2-es lapunk van, darabonként 4 x 1 méteres határoló szakaszokkal (oldalakkal). Ez összesen 16 m-nyi oldal, 4 m2-re.

Ha most egy sorba rakjuk össze ezeket, akkor lesz egy 1 méter széles, 4 méter hosszú téglalapunk. Az első és a második közös szakasza eltűnik (-2), a második és a harmadik közötti is (-2), és a harmadik és negyedik közötti is (-2). Vagyis a 16 méter-nyi össz oldalhosszúságból eltűnik 6, marad 10 méter, és valóban, egy 1 méter széles és 4 méter hosszú téglalapnak 10 méter a kerülete.

No de mi van akkor, ha ezt a 4 sikidomot nem egy sorba, hanem egymás mellé tesszük le, hogy 2x2-es négyzetünk legyen a végén?

Letesszük az elsőt, aztán a másodikat. Kiesik egy közös oldal, -2.

Letesszük a harmadikat, még mindig egy közös oldal esik ki, -2.

Letesszük a negyediket, de ennek van közös oldala az elsőként és a harmadikként letett négyzetünkkel is, tehát kétszer esik ki a két különböző, közös oldalszakasz, -4.

Tehát összesen már nem 3 pár, hanem 4 pár (8 darab) 1 méteres laphatároló szakaszunk esik ki, 16-8=8, és valóban, 2x2 m2-es területnek 8 méter a kerülete.

Ha ezt továbbgondolod, akkor látni fogod, hogy 3x3-as terület esetén már lesz olyan egységnégyzetlap letételkor, amelyiknek mind a 4 oldalhatároló szakasza kiesik. A terület további növelésével pedig az ilyen egységnégyzetlapok száma egyre inkább feldúsul (ha a lehető legnagyobb mértékben próbáljuk közeliteni a négyzet alakot).