Van egy radioaktív anyagunk, amely bomlása során 36% eséllyel alfa-bomlik, és 64% eséllyel béta-bomlik. A bomlás felezésiideje 60,5 perc. Mennyi az aplfa, és a bétabomlás felezésiideje?

Szerintem két olyan számot keresünk, amelyeknek harmonikus közepe 60.5, hányadosuk pedig 64/36.

Azaz 84.0277 ill. 47.2656.

[link]

Ez az elágazó bomlás problémája.

Azért genyó a feladat, mert a radioaktív bomlás alapból valószínűségi folyamat, amit az

N = N0 e^-λt

logaritmikus egyenlet ír le és az elágazás miatt a kérdés a valószínűség a valószínűségben problémára bonyolódik. A fönti egyenletből levezethető a bomlási állandó és a felezési idő összefüggése:

t1/2 = ln2 / λ

Látható, hogy a bomlási állandó és a felezési idő fordított arányban áll egymással. Megfontolások alapján (amit itt nem fogok levezetni) a bomlási állandó az egyes bomlási állandók ÖSSZEGE, a felezési idő RECIPROKA pedig az egyes felezési idők RECIPROKAINAK ÖSSZEGE lesz:

λ = λ1 + λ2

1/t1/2 = 1/t(1)1/2 + 1/t(2)1/2

A felezési idő RECIPROKAIT az elágazó bomlások valószínűségével súlyozni kell:

1/3630 = 0,36∙1/3630 + 0.64∙1/3630

1/3630 = 1/10083 + 1/5672

Az alfa és béta bomlás felezési ideje:

t(α)1/2= 10083 s

t(β)1/2= 5672 s

#3: Igazad van, én(#1) pedig elrontottam, a helyes eredmény felét számoltam ki, helyesen:

Két olyan számot keresünk, amelyeknek harmonikus közepe 2*60.5, hányadosuk pedig 64/36.

Nem tudok linket, ezen összefüggések az egykori Radiokémia egyetemi jegyzetemben vannak de szívesen levezetem neked:

Ha a bomlás 2 úton történik, amikre a bomlási állandók λ1 és λ2, akkor könnyen belátható, hogy ezen egymástól független folyamatok ÖSSZEGE fogja csökkenteni az N aktuális atommag számot (Ez olyan leegyszerűsítve, mintha lenne egy medencéd tele vízzel és 2 kifolyó - egy kisebb és egy nagyobb. Ezek egymástól függetlenül fogyasztják a medence vizét, de a víz fogyása a 2 kifolyó vízfogyasztásának összege lesz.):

N = N0 e^-λ1t + N0 e^-λ2t = N0 e^-(λ1+λ2)t

Így a teljes folyamatra a bomlási állandó a részfolyamatok bomlási állandóinak összege:

λ = λ1 + λ2

Felhasználva, hogy t1/2=ln2/λ és λ=λ1+λ2, a teljes folyamat felezési ideje:

t1/2 = ln2 / (λ1 + λ2)

Ennek reciprokát alkalmazva és felhasználva hogy λ1=ln2/t(1)1/2 és λ2=ln2/t(2)1/2, írható:

1/t1/2 = {ln2/t(1)1/2 + ln2/t(2)1/2} / ln2 = 1/t(1)1/2 + 1/t(2)1/2

Tehát elágazó bomlás esetén a fönti matematikai formára kell hozni az egyenletet az egyes felezési időkre nézve. Az egyszerűség kedvéért most fölhasználom ismét a feladat adatait (az egyes bomlások valószínűségeinek összege = 1):

1 / 3630 = (0,36 + 0,64) ∙ 1 / 3630 = 0,36 ∙ 1 / 3630 + 0.64 ∙ 1 / 3630

1 / 3630 = 1 / 10083 + 1 / 5672

Ebből leolvashatók az alfa és béta bomlás felezési idői

Igen, később én is rájöttem, de nem volt időm korrigálni. Tehát a logaritmikus bomlási egyenletet linearizálva kapjuk:

ln N/N0 = -λt

Ebben az alakban kell az összeadást elvégezni az λ1 és λ2 állandókkal jellemzett elágazó bomlásra:

ln N/N0 = -λ1t + -λ2t = -(λ1+λ2)t

Ez e-re emelve:

N/N0 = e^-(λ1+λ2)t

Elnézést.