Mire kell emelni az [1,2;3,4] mátrixot, hogy [5,6;7,8]-t kapjuk?

Nem gyakran emelnek mátrixot valós kitevőre. Kissé erőltetetten lehet értelmezni:

A^x = exp(ln(A))^x = exp(x * ln(A))

A mátrix logaritmusára (ha létezik vagy léteznek, mert általában nem egyértelmű) legalább vannak különféle algoritmusok (Schur-Parlett, Pade approximation), tehát ez legalábbis numerikusan számolható.

A te egyenletednek így numerikusan neki lehet állni, matlab-ban pl 6 sor:

A = [1 2 ; 3 4];

LOGA = logm(A);

B = [5 , 6 ; 7 8];

fun = @(x) real(sum(sum(expm(x.*LOGA) - B,2),1))+angle(sum(sum(expm(x.*LOGA) - B,2),1));

opt=optimset('Maxiter',2000,'TolX',1e-8,'Tolfun',1e-8);

x_ZERO = fsolve(fun,1,opt);

Erre nem igazán születik értelmes eredmény.

Ha viszont B helyére A-nak valamilyen egész számú hatványát írom, akkor jó eredményt kapok, tehát a program jól működik, csak a te esetedben épp nincs megoldás.