Mi a különbség a definiáló egyenlőség és az egyenlőség között?

Szóban:

= "egyenlő"

:= "LEGYEN egyenlő"

Általában egy változót vagy dolgot szoktak definiálni. Amikor értéket adnak neki.

a:=3, vagy f(x):= sin(x)+cos(x)

Tehát a bal oldalon egyetlen dolog áll, a jobb oldalon lehet bármi.

Ha például van egy bonyolult levezetésed vagy képleted, amiben egy hosszú függvény sokszor szerepel, akkor ezt érdemes elnevezni egyetlen betűvel, hogy időt és helyet takaríts meg, na meg hogy az egész átláthatóbb legyen.

Többiek már leírták, én is csak szemléltetni tudom. Gondolj bele, van egy hosszú-hosszú, levezetés két tucat ismeretlennel, és valahogy a 8. oldalán találsz egy ilyet:

cos(3c²-8c+2) = 3c²-8c+2

d = 3c²-8c+2

cos(d) = d

…

És nézel egy nagyot a második sornál. Miért is egyenlő a „d” a „3c²-8c+2” kifejezéssel? Ez miből is jött ki? Mintha lett volna három oldallal ezelőtt egy d, azt van most ide visszaidézve? Vagy az b volt? De akkor hol is szerepelt ez a „d” ismeretlen? Nem érted, ez az egyenlet hogyan jött ki. Pedig a bizonyítás levezetője csak egyszerűsíteni akart, *bevezetni* egy egyetlen betűvel leírható ismeretlent, ahelyett, hogy végig a 3c²-8c+2-t írná mindenhova. Levezeti d-vel, majd ha az megvan, akkor visszahelyettesíti. De ha ez így nincs szóban leírva, akkor nem egyértelmű. Ezért érdemes úgy írni, hogy:

cos(3c²-8c+2) = 3c²-8c+2

d := 3c²-8c+2

cos(d) = d

…

És akkor az ember tisztában van, hogy nem, ez a „d” ismeretlen nem szerepelt még előtte, a 3c²-8c+2-vel való egyenlősége nem valamilyen előző levezetés eredménye, ami felett elsiklottunk volna, hanem most jelöltünk ki egy új változót, ami történetesen egyenlő lesz – mert azt mondtuk, hogy legyen az – az adott kifejezéssel.