Hogyan kell értelmezni ezt az ábrát (rugalmasságtan)?

Ez lehet akár egy egész test, vagy annak egy véges (de nem infinitezimálisan kicsiny) része. Akár lehet gondolni egy kiszemelt folyadékhalmazra is, ami időben változtatja az alakját.

Az ábra kontinuummechanikai megközelítést mutat.

Persze az ábrázolt testen belül lehet kijelölni elemi dV és dv térfogatokat, és a két konfigurációban az ezek közötti kapcsolatot a leképezési mátrix determinánsa adja meg.

> „Ez a testen belül, egy kis elemi térfogat alakváltozása (és ekkor a test többi rész nincs ábrázolva), vagy az egész test elmozdulása?”

Ez az értelmezés szempontjából szerintem is lényegtelen, ahogy az előző válaszadó mondja.

> „Hogyan kell értelmezni ezt az ábrát (rugalmasságtan)?”

Minket a vizsgált test deformációi érdekelnek, ezért a mozgását és a forgásait szeretnénk szétválasztani az alakváltozásától, és ezért kell két koordináta-rendszer. A nagy X-es egy olyan, amihez képest a test egy kiszemelt P pontjának az elmozdulását és a környezetének forgását vizsgáljuk (a t = 0 pillanatbeli helyzetéhez képest), a kis x-esben (ami együtt mozgott vele, ezért van arrébb és elfordítva) pedig azt írjuk le, hogy hogyan mozdultak el a test pontjai a kiszemelt P ponthoz képest (ugye ez jellemzi az alakváltozást). Végül mivel a test nem tört el, nem ugráltak ki belőle anyagi részek ide-oda; sőt, úgy képzeljük, hogy lassan deformálódott, ezért a t = 0 pillanattól fogva folytonosan mozgott az új helyére, így bármely pontjába mutató x vektor folytonos függvénye a kezdeti X koordinátának és az eltelt t időnek, illetve általában* ennek a függvénynek létezik inverze is, ami a kezdeti X koordinátát adja meg a t-nek és az ebben a pillanatban vett x-hez képest. (És valamiért ezt a függvényt „mozgásegyenletnek” nevezi, de ettől még nem összekeverendő azzal a differenciálegyenlettel, aminek ez lesz a megoldása; és a pontok kezdeti helyzetének és sebességének függvényében az erőknek/potenciálnak/Lagrange-függvénynek megfelelően írja le a mozgást.)

Másrészt arra is lehet használni a nagy X-es koordináta-rendszert, hogy a pontokat azonosítsuk később: a pontok neve a X-beli helyük lesz.

Például ha a kiszemelt P pont az X helyről az X' = X + s(X, t) helyre kerül t idő elteltével, akkor a folytonosság miatt a P-hez közeli p pontok (amiknek a kezdeti Xp helyére |X – Xp| kicsi) az

Xp + s(Xp, t) = X + s(X, t) + S(t)*X + O(|X – Xp|^2) + …

helyre kerültek a Taylor-sorfejtés szerint, ahol a négyzetes tagtól kezdve (így első körben legalábbis feltétlenül :D) mindent elhanyagolunk, és az S(t) elmozdulástenzor Sij(t) elemét úgy kapjuk, hogy az s(Xp, t) vektormező i komponensét parciálisan deriváljuk Xp j-edik komponense szerint, majd az X koordinátáit helyettesítjük. Ezt úgy fogom jelölni, hogy

Sij(t) = ∂j*si.

Ez a tenzor felbontható egy antiszimmetrikus aij és egy szimmetrikus εij részre:

Sij = aij + εij = (∂j*si – ∂i*sj)/2 + (∂j*si + ∂i*sj)/2,

és észre lehet venni, hogy aij = (∂j*si – ∂i*sj)/2 a rotációra hajaz, és a test elfordulásával van kapcsolatban, tehát εij fogja a deformációt (alakváltozást) jellemezni.

Szóval az „azonosító koordináta-rendszerből” úgy kapjuk a „vonatkoztatásit”, hogy eltoljuk az s(X, t) vektorral, és elforgatjuk a 2*a tenzorral.

Másrészt például a P pont kis környezetének térfogatváltozására (ha az ε minden elemi kicsi) V'/V ≈ 1 + ε11 + ε22 + ε33 = 1 + Tr(ε).

*Nem feltétlenül, de amikor a fizikai elveket bevezetjük, először mindig azt az esetet érdemes nézni, amikor a vizsgálat tárgya kellően sima.

> „el tudom képzelni a belinkelt képen látható elmozdulást és alakváltozást, egy a befogástól bizonyos (x,y,z), rúdon belüli térfogategységre viszont az egész rúdra már ne, hiszen nem minden pontja mozdult el.”

Egy Forma-1-es autó első szárnya annál jobban hajlik, minél gyorsabban megy. Így el tudod képzelni? (Oké, itt még nyilván lehetne azt mondani, hogy az autóhoz rögzítjük az azonosító rendszert; de ha több test is van, amiknek érdekel a deformációja, és egymáshoz képest mozognak, akkor csak az egyiket tudod állóvá tenni egy ilyen választással. Mondjuk kanyarban érdekel, hogy hogyan deformálódik az első szárny meg a gumi, mert hogy a deformációk miatt a hátsó szárnyra máshogy érkezik a levegő, de ott is nyomni kell lefelé az autót. Jó, ez is kicsit erőltetett, de most nem működik a fantáziám.)