Hogyan kell papíron gyököt vonni?

Itt van egy megoldás:

[link]

De a számológépek nem így működnek, és én is a másik megoldást tanultam. Csak azóta már... valahol még talán megvan az algoritmus: a lényege az, hogy minden lépéssel közelebb kerülsz a megoldáshoz, és úgy ellenőrzöd, hogy négyzetre emeled.

A gyökvonásra igaz azonosságok használatával kezdeném, ha nincs négyjegyű függvénytáblázat.

Mivel tudjuk, hogy (a x b)^(1/2)= a^(1/2) x b^(1/2)

Ebből a hivatalos verzió szerint a számot fel kell írni a*10^b alakra, ahol b>=0 és (b/2)€N

Értelemszerűen, mivel b páros szám, így abból a négyzetgyökvonás elvégezhető, a "a" számból pedig négyjegyű függvénytáblázat segítségével, vagy ha az nincs, akkor az adott szám prímtényezős felbontásával eljuthatunk egy egyszámjegyű gyökös alakig. Az első hét gyököt meg illik tudni, legalább két számjegyes pontossággal.

Persze ez az "általános iskolai módszer". Ezen kívül leginkább az Euler-formulával lehet megtalálni a természetes és komplex gyököket.

Newton-módszerrel.

Xk+1=(1/2)*(Xk+(a/Xk))

Xk egy tetszőleges szám, de egyszerűbb ha olyan számmal, kezdjük a számolást ami nagyjából a szám négyzetgyöke. Ezután a kapott eredményt írjuk Xk helyére és ezt addig ismételjük, míg a végén azonos szám nem jön ki, ez lesz a szám négyzetgyöke. Pl. ha ötven négyzetgyökét keressük akkor érdemes Xk=7 -tel kezdeni a számolást.

Na, végre!

Ezt kerestem... 'a' ugye az a szám, aminek a négyzetgyökét keressük.

Nekem úgy tanították, hogy ha nincs tippem, nyugodtan indulhatok 1-ről. Elég gyorsan konvergál az eljárás.

3. vagyok, 4. kérdésére:

igen az "a" az aminek a négyzetgyökét keressük.

Négyzetgyökvonás papíron

Hatszázhuszonöt négyzetgyökének a kiszámítása

Balról jobbra haladva veszem az első számot és megnézem melyik az a

legnagyobb szám amelynek a négyzete megvan a hatban

6’25=

Az a szám a 2 mert 2-nek a négyzete 4 .

Leírom az egyenlőség jel után a 2-t és leírom a hatos alá 2-nek a négyzetét (4).

6’25=2

4

A 4-et kivonom a 6-ból és leveszem a következő két számjegyet.

6’25= (hányados)

4

2 ( maradvány )

A kapott számjegyet ( 225) elosztom a hányados kétszeresével (4) úgy, hogy letakarom az utolsó számjegyet (5-t) és megnézem hányszor van meg a

kapott értékben (22-ben). Ahányszor megvan az lesz a hányados mutatója.

A mutató az öt lesz, mert 22-ben a négy megvan 5-ször.

6’25=2

4

225:4 (22:4=5)

A hányados mutatót leírom a hányados kétszerese után (45 lesz) és ezt az értéket megszorzom a hányados mutatójával.

6’25=2 6’25=2

4 4

225:45 225:45*5

Ha a szorzat értéke az a legnagyobb szám amely még megvan a 225-ben, akkor

A hányados mutató értékét felírom a hányadosba.

6’25=25 Tehát a 625- nek a négyzetgyöke 25

4

225:45*5 ( 45*5=225)

225

000

Ha a maradék nem nulla, akkor a hányadosban kiteszem a tizedesvesszőt és leveszem a következő két számot.

Négyzetgyökvonás papíron

Hétezer kétszázhuszonöt négyzetgyökének a kiszámítása

Balról jobbra haladva veszem az első két számot és megnézem melyik az a

legnagyobb szám amelynek a négyzete megvan a hetvenkettőben.

72’25=

Az a szám a 8 mert 8-nak a négyzete 64 .

Leírom az egyenlőség jel után a 8-t és leírom a hetvenkettő alá a 8 négyzetét (64).

72’25=8

64

A 64-et kivonom a 72-ből és leveszem a következő két számjegyet.

72’25=8 (hányados) 72’25=8 (hányados)

64 64

08 (maradvány) 825

A kapott számjegyet ( 825) elosztom a hányados kétszeresével (16) úgy, hogy letakarom az utolsó számjegyet (5-t) és megnézem hányszor van meg a

kapott értékben (82-ben). Ahányszor megvan az lesz a hányados mutatója.

A mutató az öt lesz, mert 82-ben a tizenhat megvan 5-ször.

72’25=8

64

825:16 (82:16=5)

A hányados mutatót leírom a hányados kétszerese után (165 lesz) és ezt az értéket

megszorzom a hányados mutatójával (5).

72’25=8 72’25=8

64 64

825:16 825:165*5

A kapott értéket kivonom a maradványból(825).

Ha a szorzat értéke az a legnagyobb szám amely még megvan a 825-ben, akkor

A hányados mutató értékét felírom a hányadosba.

72’25=85 Tehát a 7225- nek a négyzetgyöke 85

64

825:165*5 ( 165*5=825)

825

000

Ha a maradék nem nulla, akkor a hányadosban kiteszem a tizedesvesszőt és leveszem a következő két számot.

Négyzetgyögvonás 104.976-ból

Hátulról kettes csopotrokra bontjuk. Elöl mara d egy 1- vagy 2-jegyű szám.

Úgy végezzük, mint az osztást írásban, csak mindig a következő két számjegyet írjuk a maradék mellé, és minden lépésben más az osztó.

104976

10 : x = x keressük a lehető legnagyobb számot az x helyére,

hogy az osztandót ne lépjük túl.

10 : 3 = 3 A KERESETT NÉGYZETGYÖK ELSŐ JEGYE 3

1

Melléírjuk a köv. két számjegyet.

Az osztandó a négyzetgyök eddigi számjegyeiből álló szám 2-szeresével kezdődő szám.

10 : 3 = 3

149 : 6x = x keressük a lehető legnagyobb x-et.

149 : 62 = 2 A KERESETT NÉGYZETGYÖK MÁSODIK SZÁMJEGYE 2

25

Melléírjuk a köv. két számjegyet.

Az osztandó a négyzetgyök eddigi számjegyeiből álló szám 2-szeresével kezdődő szám.

10 : 3 = 3

149 : 62 = 2

2576 : 64x = x keressük a lehető legnagyobb x-et.

2576 : 644 = 4 A KERESETT NÉGYZETGYÖK HARMADIK SZÁMJEGYE 4

0

Nulla maradékot kaptunk, tehát a kiindulási szám négyzetszám volt, a 324 négyzete.

Ha nem kapunk nullát, lehet folytatni a tizedesjegyek keresését az eddigi módszerrel, csak mindig két nullát írunk az eddigi maradék mellé.

Tudjuk, hol lesz a tizedesvessző, az "osztogatás" közben nem törődünk vele.

Mint tudjuk, egy egész szám négyzetgyöke vagy egész szám, vagy irracionális szám,

tehát ha nem kaptunk nullát az egész rész végén, akkor sosem fogunk sem nullát, sem ismétlődő szakaszokat kapni, tehát akkor hagyjuk abba, amikor "elegünk lett belőle". Például amikor a maradék már kisebb 1-nél.

a 3. válaszoló válaszát kiegészítem annyival hogy a newton-módszeres gyökvonással nem csak négyzetgyököt hanem akárhanyadik gyököt lehet vonni.

Xn+1=(Xn*(a-1)+b/Xn^(a-1))/a

szóval ezzel a rekurzív sorozattal egyre pontosabb értékeket kapunk a 'b' szam az 'a'-adik gyök alattra. (b^(1/a))