Hogy lehet kiszámolni egy vezető melegedését?

Első körben a felszabaduló Joule-hőt tudod kiszámolni:

Q=U^2*t/R. U-feszültség; R-ellenállás; t-idő.

Hogy hány fokra melegszik fel, azt az ellenállás mérésével lehet megállapítani. dt hőmérséklet változásnál az ellenállás dt-függvénye:

R(dt)=R*(1+alfa*dt). Itt R a kezdeti ellenállás, alfa pedig a lineáris hőtágulási tényező.

Tehát ha a kezdeti hőmérséklet t0 és t1-re melegszik fel, és legyen R(t1-t0)=R1 amit mérsz, akkor

dt=t0+[(R1/R)-1]/alfa adódik.

Ha az időt és az időbeni lefolyást akarod vizsgálni, akkor a Fourier-féle hővezetési egyenletből indulhatsz ki. Bár az kérdés lehet, hogy milyen peremfeltételt adjunk meg.

Én nem, de ha átolvasod írásodat, lehet, hogy fel tudod sorolni azokat, amik kis kételyt ébresztenek.

Ezekből a legkisebb a lineáris hőtágulási tényező.

Sztrogoff! Ha tudsz jobb megoldást a kérdésre, akkor kíváncsian várom.

A képleteimet helyesen írtam fel.

Talán az R(dt)=R*(1+alfa*dt) összefüggést nem magyaráztam hogy honnan jön, de akkor most megteszem, a teljesség igényére törekedve.

Tekintsünk egy A állandó keresztmetszetű, L0 hosszúságú vezetőt. A kezdeti hőmérsékletet jelölje t0, majd melegítsük fel a vezetőt t1 hőmérsékletre. Tételezzük fel, hogy a t1 hőmérsékletmező a vezető belsejében mindenütt homogén. A dt=t1-t0 hőmérsékletváltozáshoz a dL hosszváltozás empirikus úton az alábbi képlet szerinti:

dL=L0*alfa*dt. alfa:lineáris hőtágulási tényező 1/°C-ban.

Ez egy lineáris hőtágulási törvény. Ha alfa függ a hőmérséklettől, akkor ezt a műszaki gyakorlatban úgy veszik figyelembe, hogy hőmérséklet-tartományokra bontva adják meg az alfa értékét. Pl. acél esetén is kismértékben függ a hőmérséklettől az alfa, ezt szakirodalomban megtalálhatjuk.

Mivel dL=L1-L0 (ahol L1 a dt+t0 hőmérsékleten a vezető hossza) ezért

L1=L0*(1+alfa*dt) .

Másrészt villamosságtani oldalról empirikus összefüggés a vezető ellenállására az alábbi:

R=ro*L/A Itt ro az ún. fajlagos ellenállás. (vagy szokták használni ennek a reciprokát is fajlagos vezetőképesség néven, kappa=1/ro).

Ebből a képletből látjuk, hogy egy felmelegített, végső állapotban az ellenállásra

R_végső=(ro/A)*L0*(1+alfa*dt)

Itt L0 helyére be lehet írni, hogy L0=R_kezdeti*A/ro, és ebből már adódik, hogy:

R_végső=R_kezdeti*(1+alfa*dt).

A végső ellenállás tehát dt-függő függvény, ezért ezt R_végső=R(dt) -ként írhatjuk. Másrészt a kezdeti ellenállást jelölje egyszerűen R, így:

R(dt)=R*(1+alfa*dt) amiből látjuk, hogy az ellenállás a hőmérsékletváltozásban lineáris.

Itt persze az egész levezetésben feltételeztük hogy a fajlagos ellenállás is konstans.

A fenti képletet pedig a méréskor ugye a következők szerint lehet használni: Van egy adott kezdeti hőmérséklet, és ezt növeljük dt-vel mindig. Egy dt növekményhez tartozó értéket tudunk leolvasni. Ha úgy tetszik, az R(dt) diagramot ki tudjuk mérni (akár kalibrálás céljából). Viszont a képlet kiértékelésekor ha dt-t szeretnénk kifejezni, nem lehet egy ismeretlen függvény a jobb oldalon. A mérésből viszont az ellenállásfüggvény helyettesítési értéke a t1-t0=dt helyen adott, ezért célszerű bevezetni az R1=R(t1-t0)=R(dt) jelölést.

Ebből kapjuk hogy t1=t0+(R1/R0-1)/alfa ahogy már írtam.

Remélem így már világos, ha eddig valami nem volt érthető.

De várom az ennél jobb válaszod a kérdésre.

Hát igen, ha valaki nem hallott arról, hogy a fajlagos ellenállásnak is van hőmérsékletfüggése, akkor az ilyen levezetéseket csinál. De ezt kár ideírnom, a válaszadó nyilván nem járt be minden fizikaórára a középiskolában, és nem hallott ilyesmiről. Ráadásul egyetemen elmondják azt is, hogy a lineáris hőtágulás csak bizonyos („megfelelően kicsi”) hőmérséklet-tartományban ad jó közelítést.

> „Tekintsünk egy A állandó keresztmetszetű,…”

A hőtágulás során a keresztmetszet is változik, ráadásul négyzetesen (tehát a lineáris közelítésben A' = A + dA ≈ (1 + 2*α + O(α^2))*A).

(((Ki volt az az ostoba 76%, aki felpontozta a válaszodat?)))

#6-nak: A levezetéshez oda van írva, hogy feltételezem a konstans fajlagos ellenállást. De úgy látszik nem tudsz olvasni... Ha nem konstans, akkor szakaszonként lehet konstans. Így adott hőmérséklettartományban az alkalmazott közelítés jó, ahogy már írtam.

A keresztmetszet változásról: pl. kör keresztmetszet esetén, ha L/d nagy, akkor az átmérő változása elhanyagolható, 10^-6 nagyságrendű. De úgy látszik, számolni sem tudsz...

…

Semmivel nem indoklod, hogy miért lehet a fajlagos ellenállást konstansnak venni (amúgy nem is az, sokkal többet számít a változása, mint a hőtágulás, ezért használnak a legtöbb helyen ellenállás-hőmérőt). Mennyivel egyszerűbb lett volna azt odaírnod, hogy az ellenállás konstans, és akkor készen vagy. De a te levezetésed alapján, a hőtáguláshoz képest a fajlagos ellenállás változása elhanyagolható, ami az esetek nagy részében nem igaz.

> „A keresztmetszet változásról: pl. kör keresztmetszet esetén, ha L/d nagy, akkor az átmérő változása elhanyagolható, 10^-6 nagyságrendű. De úgy látszik, számolni sem tudsz...”

Ha a hőtágulás során a hossz L' = (1 + α(ΔT))*L-re változik, akkor egy elemi keresztmetszetre

dA' = dx'*dy' = (1 + α(ΔT))*dx*(1 + α(ΔT))*dy = (1 + α(ΔT))^2*dx*dy = (1 + α(ΔT))^2*dA

adódik. Ezt integrálva a teljes keresztmetszetre

A' = (1 + α(ΔT))^2*A,

mivel a keresztmetszet egészében az α(ΔT) állandó. (Ha lineáris hőtágulást tételezünk fel, akkor ugye α(ΔT) = a*ΔT, ahol a a nálad is szerepló lineáris hőtágulási tényező.)

Ezzel ρ-t állandónak véve, ahogy te tetted:

R' = ρ*L'/A' = ρ*(1 + α)*L/((1 + α)^2)*A = ρ*L/A * 1/(1 + α) = R/(1 + α).

Szóval a szorzást osztásra cserélve (és a feltételezéseidet elfogadva), a képleted valóban helyes.

Sztrogoff, mit tehetnék, hogy ne fájjon a mások hülyesége, és ne próbáljam jobb belátásra bírni őket? Meg miért a leghülyébbek szólnak be a legnagyobb hangon? No mindegy… (Meg ez persze azért is rossz, mert tudom, hogy néha én is hülyeségeket írok.)