Az alábbi abszolút-érték függvény eseteit hogy kell felírni? f (x) = x+/x-1/+/x+1/

Meg kell nézni a függvény töréspontjait.

Az egyik a -1, a másik az 1, mert az x-1 az x=1-től az x+1 pedig x=-1-től lesz pozitív.

Ennek megfelelően az első szakaszod a -végtelen < x <= -1

a második szakaszod: -1 < x <= 1

a harmadik szakaszod: 1 < x

1) x+(-(x-1))+(-(x+1)=x-x+1-x-1 = -x

2) x+(-(x-1)+(x+1)=x-x+1+x+1 = x+2

3) x+(x-1)+(x+1)=x+x-1+x+1 = 3x

Igen, megnézed a töréspontokat, azaz, hogy az abszolútérték jel mikor "okoz" változást, és mikor nem.

|x-1| kifejezésben, hogyha az x>=1, akkor ugye az abszolútértékben pozitív érték lesz, tehát olyan, mintha nem is lenne abszolút érték.

|x+1| kifejezésben, hogyha az x>=-1, akkor szintén fennáll, hogy pozitív lesz ami az abszolútértékben van, vagyis "simán elhagyható" az abszolútérték jel.

Vagyis megvan a két töréspont x=-1-nél és x=1-nél.

Akkor vizsgálni kell, hogy hogyan fog kinézni a -végtelen +végtelen és a két töréspont tartományában a függvény:

tehát elindulunk mínusz végtelentől, egészen -1-ig, az egyik töréspontig.

Ebben a szakaszban az |x-1| előjelet fog váltani, hiszen ha mínusz egynél kisebb számot írok bele, mínusz értéket kapok, vagyis ezt az abszolútértéket fordított előjellel bontjuk ebben az intervallumban: -(x-1)=-x+1

A másik abszolútértékes kifejezésünk az |x+1|, ez is előjelet fog váltani, hiszen pont egynél nem kisebb számok kellenének, hogy ne váltson, de most mi ez alatt vagyunk, vagyis ebben az intervallumban fordított előjellel bontjuk: -(x+1)=-x-1

Vagyis a -végtelen és -1 közötti intervallumban a függvényünk abszolútérték jel nélkül így néz ki:

x+(-x+1)+(-x-1)=x-x+1-x-1=-x, ha az x -végtelennél nagyobb de kisebb-egyenlő -1.

Megyünk tovább a számegyenesen, keressük a következő töréspontot:

-1<x<=1, ugye most az -1 és 1 közötti számok jönnek. Nézzük, hogy viselkednek az abszolútértékek!

Ha az x -1 és 1 között van, akkor az |x-1| kifejezés még mindig előjelet fordít, hiszen ilyen értékeknél az x-1 még negatív, tehát ezen a tartományon is |x-1|=-(x-1)=-x+1

A másik kifejezésünk, az |x+1| viszont már átfordult pozitívba, hiszen ha -1-nél nagyobb számhoz adok egyet, az már pozitív lesz. Tehát az |x+1|=x+1

Vagyis a -1 < x <= -1 értéke a függvényünk így néz ki:

x+(-x+1)+(x+1)=x-x+1+x+1=x+2, ha a -1 < x <= 1

A harmadik esetben pedig vizsgáljuk azt, hogy mi a helyzet, ha az x>1

Ekkor mindkét abszolút értékünk pozitív lesz, tehát simán "elhagyható" az abszolútérték jelünk:

x+(x-1)+(x+1)=x+x-1+x+1=3x, ha az x>1