Ennek az egyenletnek miért nem megoldása a 250?

A valós gyökvonást úgy szokás definiálni, hogy az értékkészlete és az értelmezési tartománya is a nem negatív számok halmaza.

Komplexek felett igazad lenne, sőt, akkor még lenne két másik megoldás is a 4-en és –4-en kívül.

Alapvetően igazad lehetne, de nem csak úgy szokták definiálni, hanem úgy is definiálják, ahogyan az első válaszoló írta. Vagyis valós számok halmazán a gyökvonás csak nem negatívakra értendő, amikor pedig negatívra is kiterjesztjük, akkor komplex számsíkra térünk át. De ezt írta az első válaszoló.

Egyébként ez függvénytanban is szépen látszik. Függvényről akkor beszélünk konyhanyelven, ha egy adott értékhez csak egyetlen értéket rendelünk hozzá. De a gyökvonásnál ugye kettőt is rendelhetnénk (lásd f(x)=gyök(x), x=2-nél mínusz és plusz kettő is megoldás lenne). A függvény definíciójában ez nem megengedett. Tényleg nagyon laikusnak, laikusként írtam le. Ha ez sem teljesen tiszta, talán jön egy matematikus, aki elmondja precízebben.

Azért praktikus így definiálni, ahogy már egyszer leírták, mert ha azt mondom, hogy 2+4, akkor tudjuk, hogy az összeg 6, de ha azt mondom, hogy gyök(4)+gyök(16), akkor ennek mennyi az értéke? Ha gyök(4) értéke lehet 2 és -2, valamint gyök(16) értéke 4 és -4, akkor a fenti összeg lehet:

2+4=6

-2+4=2

2+(-4)=-2

-2+(-4)=-6

Érezhető, hogy ha gyök(x) értéke kétféle lehetne, akkor nagyon nem lenne egyszerű az életünk, ezért jó úgy definiálni, hogy gyök(x) értéke az a nemnegatív valós szám, amelynek négyzete x, és minden páros gyökre igaz ugyanez.

Azért nem lehet, mert a valós számkörben akarod megoldani az egyenletet.

Valós számkörben a 2k-adik gyököt pedig a következőképp definiáljuk:

2k-adik gyök alatt x az a nemnegatív valós szám, melynek 2k-adik hatványa x.

Tehát nem elég az, hogy valós legyen az eredmény, hanem az is kell, hogy ő pozitív legyen.

A komplex függvények körében már más a helyzet, ott nem így definiáljuk, hanem az egyenlet megoldásaként. Míg valós számkörben a gyökvonás egyértékű művelet, addig komplexben többértékű...

Komplexben az egyenletednek pl. 4 megoldása lesz.