Egy sokszög belső szögeinek összege (n+2) *180?

Egy sokszög belső szögeinek összege 180°*(n-2).

Bizonyítás indukciós módszerrel:

n=3-ra igaz, ekkor egy háromszöget kapunk, belső szögeinek összege 180°.

n=4-re is igaz, tetszőleges négyszög belső szögeinek összege 360°.

n=5-re már "trükközni" kell; rajzoljunk egy ötszöget, majd egyik csúcsából húzzuk be az összes átlót (összesen 2-t tudunk behúzni). Ekkor az ötszögön belül 3 darab háromszöget kapunk, amikről tudjuk, hogy mindegyik szöge részszöge az ötszögnek. Mivel mindhárom háromszög belső szögeinek összege 180°, ezért az ötszög belső szögeinek összege 180°*3=540°.

Erre a három esetre biztosan igaz a képlet:

Háromszög esetén n=3; 180°*(3-2)=180°.

Négyszög esetén n=4; 180°*(4-2)=360°.

Ötszög esetén n=5; 180°*(5-2)=540°.

Bizonyítás: tegyük fel, hogy n-ig tudjuk, hogy igaz, de n+1-re nem tudjuk. Nézzük meg, hogy n+1 esetén mi a helyzet:

Annyit tudunk, hogy a képlet szerint 180°*(n+1-2)=180°*(n-1) a belső szögek összege, ha igaz a képlet. Rajzoljunk le egy n-szöget, és egyik csúcsából húzzuk be az összes átlót, ez alapján tudjuk, hogy ennek a sokszögnek 180°*(n-2) a belső szögek összege (ez az indukciós feltétel). Az n-szögön kívül válasszunk ki egy pontot, majd kössük össze ezt a két pontot két szomszédos (tehát amik között van oldal) csúcsot úgy, hogy egy n+1 szöget kapjunk. Ekkor az így kapott n+1-szög az eredeti n-2 darab háromszögből és még 1-ből áll (az újonnan behúzott szakaszok oldalak lesznek, az eredeti 1 oldal pedig átló).

Ennek az új sokszögnek 180°*(n-2)+180°, ebből ha kiemelünk 180°-ot: 180°*(n-2+1)=180°*(n-1), és ezt is kellett kapnunk, tehát a feltevés igaz.

Mivel n tetszőleges, 2-nél nagyobb egész volt, ezért ez tetszőleges n-re igaz lesz.