X^ (1/x) -nek, az az x-edik gyök alatt x, nek mi a deriváltja? Ha lehet a lépéseket is magyarázzátok el, melyik a külső és melyik a belső fügvény

Tehát akkor:

f(x)=x^(1/x)

Veszed mindkét oldal természetes alapú logaritmusát:

ln f(x)=ln x^(1/x)

A logaritmus azonosságait felhasználva a kitevő előre hozható:

ln f(x)=(1/x)*ln x

Most deriválod mindkét oldalt: (ln x deriváltja ugye 1/x azonban mivel itt f(x) van még meg kell szorozni annak a deriváltjával ami f'(x)...a jobb oldalt pedig szorzat deriváltjaként egyszerűen deriválod)

Tehát ez lesz:

f'(x)/f(x)=-1/x^2*ln x + 1/x * 1/x

Kiemelsz 1/x^2-et és beszorzol f(x)-el:

Tehát a Deriváltfüggvény:

f'(x)=x^(1/x-2)(1-ln x)

Egy rövidebb módszer, ha az x^(1/x) differenciálandó függvényt exponenciális alakba írjuk, hiszen

x^(1/x)=e^(lnx/x)

amiből közvetlenül adódik a derivált:

(d/dx)e^(lnx/x)=((1-lnx)/x^2)*e^(lnx/x)=(1-lnx)*x^(-2+(1/x)).

Persze mindenki úgy számol, ahogy akar.