Végeztek már azzal kapcsolatban kutatást, hogy egy lineáris egyenletrendszernek adott körülmények között hány megoldása lehet?

A lineáris egyenletrendszernek vagy nulla, vagy egy, vagy végtelen sok megoldása van.

(Hogy ezek közül melyik, azt a lineáris egyenletrendszert reprezentáló mátrix rangja és determinánsa alapján állapíthatod meg.)

Szóval először megoldod az egyenletrendszert a valós számok halmazán, aztán minden változóra veszed a megoldáshalmaz és az értelmezési tartomány metszetét.

Ha nulla valós megoldásod van, akkor minden valós számokból álló értelmezési tartományon nulla megoldásod lesz.

Ha egy valós megoldásod van, akkor vagy nulla (nincs benne az értelmezési tartományban), vagy egy (benne van az értelmezési tartományban) megoldásod lesz.

Ha végtelen sok valós megoldásod van, akkor kicsit izgalmasabb a dolog. Ha az értelmezési tartományod folytonos (értsd: megszámlálhatatlanul végtelen számosságú , pl. "0 és 1 közötti számok"), akkor ugyanúgy vagy nulla, vagy egy, vagy végtelen sok megoldásod lesz, attól függően, hogy az értelmezési tartománynak és a megoldáshalmaznak hány közös eleme van. (Ha van két közös eleme, akkor a közöttük lévő számok révén szükségszerűen végtelen sok közös eleme is lesz.)

VISZONT ha az értelmezési tartományod diszkrét (értsd: számossága véges vagy megszámolhatóan végtelen, pl. "vagy 0 vagy 1"), akkor a megoldások száma nullától az értelmezési tartomány számosságáig tartó összes természetes számot magába foglalhatja.

Ha érdekel a téma, akkor lineáris algebra könyveket tanulmányozz. Azokban találhatóak meg azok a módszerek, melyek korrektül definiált fogalmak segítségével lehetővé teszik a felvetett probléma megválaszolását.

Ahhoz, hogy egy lineáris egyenletrendszer megoldhatóságát az általánosság megszorítása nélkül vizsgálhassuk, alkalmaznunk kell a matematika rendelkezésre álló bő és szabatos eszköztárát.

A témával kapcsolatos főbb címszavak, melyeken el lehet indulni: mátrix, determináns, Gauss-algoritmus, mátrix rangja, Wronsky-determináns, mátrix kondicionáltsága(ez utóbbi inkább programozásban érdekes...)