Valaki segítene megoldani?

[link]

Felszín:

A = Ta + Tp

Ta = a^2

Tp = 3/4 * A = 3/4 * (Ta + Tp) => Tp = 3 * Ta = 3 * a^2

A palást 4 háromszögből áll ugye. Mindegyik háromszög területe 3/4 * a^2.

Ezeknek az alapja a.

A háromszög területét pl. így lehet kiszámolni:

T = m * a

Az a-t "ismerjük", illetve T-t is az a függvényében.

Ebből számoljuk ki akkor m-et:

T = m * a / 2 = 3/4 * a^2

(a-val leoszthatunk, mert nem lehet 0, sőt, biztosan pozitív!)

Tehát: m = 3/2 * a

Írjunk fel egy Pitagorasz-tétel:

m^2 + (a/2)^2 = b^2 (ahol b a háromszög szára)

b^2 = (3/2 * a)^2 + (1/2 * a)^2 =

= 9/4 * a^2 + 1/4 * a^2 =

= 10/4 * a^2

Gyökvonás után (a, b pozitív!):

b = gyök(10) / 2 * a

Írjunk fel egy második Pitagorasz-tételt a gúla alapján:

a^2 + a^2 = d^2 (d a négyzet átlója)

Nem részletezném: d = gyök(2) * a

Írjunk fel egy harmadik Pitagorasz tételt is:

(d/2)^2 + b^2 = M^2 (ahol M a gúla magassága)

M^2 = 1/2 * a^2 + 10/4 * a^2 = 3 * a^2

Gyökvonás után (a, M pozitív!):

M = gyök(3) * a

Végül a térfogat:

V = 1/3 * Ta * M = 1/3 * a^2 * gyök(3) * a =

= gyök(3) / 3 * a^3 = a^3 / gyök(3)

Remélem, nem számoltam el (elsőre igen, de átnéztem azért, és kijavítottam).

Szép feladat!

Legyen

A = a² - az alaplap területe

P - a palást területe

F = A + P - a felszín

q = P/F = 0,75 - a palást és a felszín hányadosa

V = ?

A térfogathoz szükség van a gúla magasságára, ezt a palástot alkotó háromszögek magasságából és az alapélből Pitagorasz tétellel lehet számítani. A háromszög magaságához kell a palást nagysága, először ezt határozzuk meg.

A palást nagysága

Mivel

q = P/F

ebből

P = q*F

az

F = A + P

értéket behelyettesítve

P = q(A + P)

P = q*A + q*P

Átrendezve, kiemelve

P(1 - q) = q*A

ebből

P = A*q/(1 - q)

illetve

P = a²*q(1 - q)

A palástot négy háromszög alkotja, így egy háromszög területe (t) a palást negyede, vagyis

t = P/4 = a*m/2

ahol

'm' a háromszög magassága

A jobb oldali egyenlőségből

P/4 = a*m/2

P = 2*a*m

Ez egyenlő az előzőleg, az arányból számított palást értékével, vagyis

2*a*m = a²q/(1 - q)

ebből

m = a²q/2a(1 - q)

egyszerűsítés után

m = (a/2)[q/(1 - q)]

Most már számítható a gúla magassága (M)

M² = m² - (a/2)²

M² = (a/2)²[q/(1 - q)]² - (a/2)²

A műveletek elvégzése után

M = (a/2)[√(2q - 1)]/(1 - q)

Legyen

Q = [√(2q - 1)]/(1 - q) (konstans érték)

így

M = (a/2)*Q

Így már számítható a gúla térfogata

V = A*M/3

Behelyettesítés és egyszerűsítés után

V = (a³/6)*Q

*******************************

A Q értéke a megadott arány esetén

Q = [√(2q - 1)]/(1 - q) = [√(2*0,75 - 1)]/(1 - 0,75) = (√0,5)/0,25 = 2√2

Q = 2√2

Ezzel a térfogat

V = a³*√2/3

*************

Próbaképpen kiszámoltam az értékeket, ha

a = 10

q = 0,75

Ezekkel

Egy palástháromszög magassága

m = (a/2)[q/(1 - q) = 5*0,75/0.25 = 5*3 = 15

a területe

t = a*m/2 = 5*15 = 75

Ezzel a palást

P = 4*t = 4*75 = 300

A felszín

F = A + P = 10² + 300 = 400

Így a palást és a felszín aránya

q = P/F = 300/400 = 0,75

A gúla magassága

M (a/2)*Q = (a/2)*2√2

M = a√2

A gúla térfogata

V = 1000√2/3

Remélem, nem számoltam el magam. :-)

DeeDee

*********