A következő függvények határértékeinek kiszámításánál segítség?

Kicsit kevered a szezont a fazonnal; a második akkor venne fel egyre kisebb értéket, ha x->végtelen lenne, de itt most x->5 van. Mivel a kapott függvény az 1/x (eltolásos) transzformáltja, ezért ugyanaz lesz a határérétéke, vagyis

lim(x->5) 1/(x-5)=lim(x->0) 1/x, erről pedig tudjuk, hogy nem létezik, mivel a bal- és jobboldali határérték nem egyezik meg (egyébként a határérték-vizsgálat ugyanúgy zajlik; megnézzük a bal- és jobboldali határérétéket, aztán látjuk, hogy ezek nem egyeznek meg).

Az elsőnél nem kell átalakítani semmit; látható, hogy ez egy 1/0 (általánosabban; c/0, ahol c nem 0) alakú határérték, ami vagy végtelenhez, vagy -végtelenhez, vagy sehova nem tart. A jobboldali határértéke végtelen (+/+), a baloldali -végtelen (+/-), ezért a határérték nem létezik.

Igen, tudom. A c/0-t azért írtam, mert az egy általános jelenség. A 0/0 az már egy érdekes történet, arra van egy L'Hospital-szabály nevű dolog. Nézz utána, mert hasznos :)

Akkor te most azt nem érted, hogy miért kell jobb- és baloldali határértéket nézni, vagy hogy hogyan kell nézni azokat?

Első körben úgy vizsgáltuk a sorozatokat, hogy azok korlátosak-e vagy sem, aztán meghatároztuk az infémum és a szuprémum fogalmát, ebben az esetben viszont n->végtelen volt az érdekes, mivel egyébként a(n) értelmezhető volt. Aztán bejött az, hogy mi van akkor, ha valahol nincs értelmezve a függvény, de "nagyon, de nagyon, de nagyon, ... közel hozzá" pedig van értéke? Ez volt a határérték egy véges helyen.

Aztán pedig tanultunk olyat, hogy a függvény határértéke, de mi van akkor, ha elemi módszerekkel (pl. felbontással) nem lehet kihámozni a határértéket, például, ha a nevezőben 0 lesz, ha behelyettesítünk? Ekkor találták ki a bal- és jobboldali határétéket.

A baloldali határétéket így szoktuk jelölni: lim(x->x-), vagy lim(x->c-0). Hogy miért használnak két jelölést, azt nem tudom, de ez a két szimbólum egyenrangú. Ugyanerre a mintára a jobboldali határéték lim(x->c+), vagy lim(x->c+0). Na de mi is az az "oldali" határéték? Gondolom ez sem tiszta.

Amikor bal oldali határétékről beszélünk, akkorbalról közelítünk a megadott c-hez, például vagyük a második példádat:

lim(x->5-) 1/(x-5)

Helyettesítsünk be

4-et: 1/(4-5)=-1

4,9-et: 1/(4,9-5)=-10

4,99-et: 1/(4,99-5)=-100

4,999-et: 1/(4,999-5)=-1000

.

.

.

Tehát egyre inkább közelítünk 5-höz, te az 5-öt nem írjuk be. Látható, hogy ez egyre kisebb lesz, egészen a -végtelenségig, tehát a bal oldali határérték -végtelen lesz.

Ugyanezt csináljuk meg a jobb oldallal: helyettesítsünk be

5,1-et: 1/(5,1-5)=10

5,01-et: 1/(5,01-5)=100

.

.

.

Ez pedig a végtelenhez fog tartani.

Tanultuk, hogy egy függvénynek akkor van határértéke, ha a bal- és a jobboldali határérték megegyezik. Mivel itt nem egyezik meg, ezért ez a határérték nem egyezik meg.

Ez persze nem volt egy precíz matematikai leveztés, ellenben szépen prezentálja, hogy mégis mi a helyzet.

Egy másik szemszögből vizsgáljuk a problémát, ehhez fogadjuk el, hogy a c/0 alakú határérték (ahol c nem 0) vagy végtelen, vagy -végtelen, vagy nem létezik. Tehát az biztos, hogy valamilyen végtelen lesz. Megint vizsgáljuk meg a bal- és jobboldali határértéket, de mivel csak 3 választási lehetőségünk van, amihez elég tudni az előjelet, ezért csak az előjeleket vizsgáljuk a különböző esetekben.

Ha a baloldali határértéket vizsgáljuk, akkor kisebb, mint 5-öt írunk x helyére. Ekkor a számláló pozitív lesz (az 1 mindig pozitív lesz), a nevező negatív, és mivel +/-=-, ezért ez a határérték -végtelen lesz.

A jobb jobboldali határérték esetén 5-nél nagyobb szám kerül x helyére, tehát a nevező pozitív lesz, így +/+=+ miatt +végtelen lesz a határérték.

És mivel ezek nem egyenlőek, ezért a határérték nem létezik.

Próbáld meg ezt a második levezetést ráilleszteni a szinuszosra. Abból kiderül, hogy sikerült-e megértened :) (itt most úgy értem, hogy írd le.)

Akkor jöhet a következő lépcsőfok:

lim(x->0) sin(x)/x