Egy 2 m hosszú szál elszakad egy véletlenszerű pontban. Határozzuk meg a rövidebb és hosszabb darab hosszának várható értékét és szórását!?

A szakadási pont (folytonos) egyenletes eloszlású valószínűségi változó, a paraméterek a=0 és b=2

Várható érték: E(ξ) = (a+b)/2 = 1 m

Szórás: D(ξ) = (b-a)/(12^0,5) = 0,57735 m

A szakadási pont (folytonos) egyenletes eloszlású valószínűségi változó, a paraméterek a=0 és b=1

Várható érték: E(ξ) = (a+b)/2 = 0,5 m

Szórás: D(ξ) = (b-a)*gyök(3)/6 = 0,2887 m

Mivel a szál 2 méter, és 1 méternél van a várható szakadási pont - abban az esetben mindkét fele 1 m hosszú..

A szórásnégyzet nem más, mint az egyes értékek átlagos értéktől vett eltérései négyzetének átlaga

D^2(ξ) = E(ξ-E(ξ))^2 = E(ξ^2) - E^2(ξ)

E(ξ) nem más, ξ lehetséges értékeinek (x) azok valószínűségével (f(x)) súlyozott átlaga - azaz mínusz végtelentől plusz végtelenig integrálva az x*f(x) függvény

Mivel a folytonos egyenletes eloszlásnál f(x) sűrűségfüggvény csak a és b pont között nagyobb, mint nulla (ebben az esetben ez azt jelenti, hogy a szál csak a két vége között szakadhat el), így a-tól b-ig kell integrálni.

D^2(x) = 0∫2 x^2*f(x) dx - [0∫2 x*f(x) dx]^2

D^2(x) = 0∫2 x^2*(1/(2-0)) - [(0+2)/2]^2

D^2(x) = 0∫2 (1/2)x^2 dx - 1

D^2(x) = (1/2)*(1/3)*2^3 - (1/2)*(1/3)*0^3 - 1

D^2(x) = 8/6 - 1 = 2/6

D(x) = négyzetgyök 2/6 = négyzetgyök 4/12 = 2/négyzetgyök12 = 0,57735