Miert lesznek derivaltak?

Fizikában többnyire a változásokat vizsgálják valami függvényében, ami többnyire az idő. A változó változási mértékét tudjuk kifejezni a változó szerinti deriváltjával.

például

v = ds(t) / dt

a = dv(t) / dt

...

A függvény deriváltja egy adott pontban a függvény meredekségét adja vissza.

A kis függvény részek differenciáltjai apró felbontásokkal, geometriai úton is megadhatók, nem kell hozzá tudni a függvény leírását, elég ha megvan hozzá a függvény képe.

Ezen az alábbi linken nagyon szépen le van írva:

[link]

A zöld vonal egy nagy intervallumot tekintve vett differenciál hányados. Ha ezeket az intervallumokat (delta x) csökkentjük epszilon > 0 számra, akkor kapjuk meg a deriváltat. Ezt nagyon jól ábrázolja a második, animált kép.

A deriváltat továbbá nagyon sok helyen használják. Ha érdekel, hogy ezt hogyan és mint, az egyik legjobb könyv szerintem:

Differenciálszámítás (példatár) - Bolyai-könyvek,

szerző: Bárczy Barnabás

Ár: ~ 1 600 Ft, de használtan, vagy egyetemi tankönyvtámogatással, vagy antikváriumban olcsóbban is meg lehet venni

Van benne elmélet, példák levezetéssel, gyakorló példák megoldásokkal. Szemléletes, jól felépített, rendszerezett tudást ad.

Én 1 hét alatt "végig vittem", és 6 évig profitáltam belőle :)

Nem lesz egyből derivált. Csak ha akarjuk, mert valamilyen fontos tulajdonságát meg akarjuk ismerni.

Ha például egy függvény jellegéről (akár fizikai, akár matematikai értelemben) szeretnénk megtudni valamit, azt sokféleképpen tehetjük. Némi áttekintéssel hamar rájövünk, hogy a függvény viselkedését akkor tudjuk a leghatásosabban megállapítani, ha kis darabonként vizsgáljuk, hogy mit csinál. És ezt sorra mind megnézzük, ezáltal egy másik függvényt kapunk. Alaposabb vizsgálattal megállapítható, hogy a két függvény között szoros kapcsolat van. ha ennek miben létét meghatározzuk, a későbbiekben nem kell az előbbieket ilyen részletesen végiggondolni, mert eleve tudjuk (ha megtanultuk és megértettük), hogy például ha egy függvény meredekségét akarjuk vizsgálni, akkor a derivált függvényének értékeit nézzük meg.

Ugyanúgy, ahogy a szorzásról is tudjuk, hogy sok azonos szám összeadása, de ezt nem gondoljuk mindig végig, csak egyszerűen tudjuk például, hogy négyszer öt az húsz.

Egy rúd hosszában történő felbontása "szeletekre" analóg a válaszban leírtakkal. Egy területet két változóval tudunk leírni, ezért kétváltozós számolásokat követel. Tér számolásához 3 dimenziós egyenleteket használnak.

Maga a jelölés: 'd' igazából a "delta" betű helyett használatos, ami változást jelöl. Akkor szoktunk inkább d-t írni delta helyett, ha ez a változás nagyon finom, nagyon kis mértékű. (Valamint sokkal könnyebb d-t írni, mint deltát.)

Deriválásnál a felbontás a függvény képének változását arányosítja a függvénybe helyettesített érték változásával. {f(x + dx) - f(x)} / dx = dy / dx

Amennyiben a változás, dx elég kicsi, sőt pozitív irányból tart nullához, akkor azt definíció szerint deriváltnak hívjuk és f'(x), vagy y'(x) -el jelöljük.

De amit te mondasz az lehet analóg az integrálással is, hiszen ott is dx szerint nézzük a változásokat.

[link]

[link]

Első linken a felső ábrán látszik a középértékből számolt közelítő számolás. Ezek a kis "téglalapok" 'dx' szélesek és középértékük 'x'. A kép alatt látszik a képlet, hogy összeget számolnak a sok-sok kis téglalap területének számolása egy összegként írható fel. Amennyiben a 'dx' elég kicsi, sőt pozitív irányból tart nullához, akkor az Sum(i=1..n, [f(xi) * dx ]) összeg értéke definíció szerint azonos számot ad ki, mint a függvény határozott integrálja x1 és xn között.

Amennyiben ez sem elégíti ki a válaszodat, kérj a tanártól konzultációt, hogy mutasson rá az összefüggésekre, hogy elkerüld a fogalmi zavart és át tudd látni, mit tanít.