Hogyan kell megoldani ezt a matekpéldát?

szerintem a körbe irható kör középpontja nem megy a középvonalon át.(de javítsatok ki ha tévedek)

a három oldalból ki lehet számítani az r-t. majd hasonlosági aránnyal ki lehet az uj háromszög oldálat

számolni.

Mivel a kör középpontja felezi a derékszögű háromszög átfogóját, ezért biztos, hogy átmegy rajta a felezővonal. Mivel az egyik befogóval párhuzamos szakaszt húzunk be, ami átmegy a kör középpontján, és pont ezeket tudja a középvonal is, ezért az a középvonala.

De javítsatok ki, ha tévedek :D

igaz igaz én a beirt körre értettem a feladatot

ugy hogy ott a pont.

Nagyon szép feladat!

Legyen

T - az eredeti háromszög területe

Ti - az 'i' (i € (a,b,c ) oldallal párhuzamos felosztással keletkezett háromszög területe

K - a háromszög kerülete

Az általános megoldás:

Ti/T = (1 - i/K)²

A részletes levezetés később, mert rajz is készül.

A feladatban

a = 5

b = 12

c = 13, mivel egy Pitagoraszi háromszögről van szó.

Ezekkel a kerület

K = 30

Pl. az 'a' oldallal párhuzamos felosztás esetén

Ta/T = (1 - a/K)²

Ta/T = (1 - 5/30)² = (5/6)²

Ta/T = 25/36 (= 0,694...)

DeeDee

**********

Eltérítettek az elmúlt két napon, ezért - ha kissé késve is - itt a részletes megoldás.

A feladat megoldásához tulajdonképpen csak egy szabályt kell ismerni:

Két hasonló idom területének aránya valamelyik jellemző méretük arányának a négyzetével egyenlő.

A következő ábrán le is vezettem ezt a szabályt:

[link]

Látható, hogy az eredeti kérdést megtoldottam a másik befogó esetével is, mert a két oldal egyenrangú.

De ha már van egy derék háromszögünk, méltatlan lenne a harmadik oldalt kihagyni a játékból. Egy jól nevelt átfogó nem lehet mostohagyerek, joggal venné sértésnek, ha nem foglalkoznánk vele is. :-)

Akkor lássuk, mi van az átfogóval párhuzamos felosztás esetén.

Pillanatok alatt kiderül, hogy a befogóknál bevált séma - oldal mínusz sugár osztva az oldallal -

qc = [(c - r)/c]²

itt nem működik. Mást kell kitalálni.

A hasonló háromszögekből levezethető, hogy ebben az esetben a megoldás:

qc = [(mc - r)/mc]²

alakú, ahol

mc - az átfogóhoz tartozó magasság.

Itt érdemes egy kicsit megállni és gondolkodni.

A képletben valamely oldalhoz tartozó magasság és a beírt kör sugara szerepel és semmit nem mond a háromszög hovatartozásáról: általános, egyenlő szárú, szabályos vagy derékszögű-e?

A feladatban szereplő derékszögű háromszögnél az 'a' befogóhoz tartozó magasság a 'b' befogó és fordítva, vagyis írható, hogy

qa = [(ma - r)/ma]²

illetve

qb = [(mb - r)/mb]²

Vagyis ez a formula általánosítja a problémát és a megoldást is (a mostohagyerek diadala :-))

Ennek levezetése látható a következő rajzon:

[link]

Remélem érthető voltam, ha nem, lehet kérdezni. :-)

DeeDee

**********