Matematika számhalmazok: Nem értem, valaki elmagyarázná? (Bővebben lent)

Én annyit tudok, hogy az:

N a természetes számok halmaza, ebben benne van minden pozitív egész szám

Z az egész számok halmaza (pl. -2, 5, 854)

Q a racionális számok halmaza, tehát, amit fel lehet írni törtként. (minden, ami nem irracionális, pl. a pí is irracionális)

R a valós számok halmaza

Szerintem a hiperkomplex számokra gondoltak.

[link]

De ez valójában nem kiterjesztés, hanem általánosítás.

Tehát nyugodta veheted úgy, hogy a szám fogalmának a kiterjesztése a komplex számoknál fejeződik be.

Nem a hiperkomplex számokról van szó, hanem kvaterniókról. A kvaterniók halmazának jele H, a felfedezőjük, Hamilton tiszteletére.

Talán a legegyszerűbben azt lehetne mondani, hogy a valós számnégyesek halmazán vezethetünk be úgy összeadást és szorzást, hogy a szokásos műveleti tulajdonságok - a szorzás kommutativitásának kivételével - érvényben maradjanak. Az összeadás a "szokásos", a szorzás művelete bonyolultabb. A szorzás megjegyzéséhez szokták az i, j, k egységeket bevezetni. 1, i, j és k felel meg a bázisvektoroknak, azaz az (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) számnégyeseknek.

Ez azért tekinthető a számfogalom kiterjesztésének, mert a komplex számok halmaza lényegében a valós számpárok halmaza egy megfelelő összeadással és szorzással ellátva. Az egy másik dolog, hogy a (0,1) számpárt elnevezzük i-nek, és így könnyebben kezelhető a szorzás művelete. Ha ezt a konstrukciót továbbvisszük számpárok helyett számnégyesekre, akkor kapjuk a kvaterniókat. Csak a kvaterniók körében jóval nehezebb volt kitalálni a megfelelő szorzásműveletet.

Megjegyzem, hogy tovább is lehet menni, a számnyolcasok halmnazán is lehet analóg műveleteket bevezetni, így kapjuk az oktávokat (vagy októniókat). Ekkor azonban a szorzás művelete olyan mértékben elromlik, hogy nem csak, hogy nem lesz kommutatív, de asszociatív sem lesz.