1+x+x^2+x^3=2^y egyenletet szeretném megoldani?

A bal oldalt megvizsgálva kimondhatjuk, hogy x nem lehet páros szám (kivéve az x=0-t, már ha ezt is elfogadjuk természetes számnak, azaz megoldásnak), mert ekkor a négyzete és a köbe is páros lenne, ezért a bal oldali összeg páratlan; viszont a jobb oldal páros (ha megint kivesszük az y=0-t, mert 2^0=1, de ezt lásd fent).

Innen próbálkozni kell valamilyen átalakítással. A bal oldal szorzattá bomlik (x+1)*(x^2+1) formában. Mivel x páratlan, ezért 2k+1 formájú (k nemnegatív egész szám). Ezzel (2k+1+1)*[(2k+1)^2+1]=(2k+2)*(4k^2+4k+2)=4*[(k+1)*(2k^2+2k+1)]=4*(k+1)*[1+2k+1/(k+1)]. Ez utóbbi a polinomosztás - (2k^2+2k+1):(k+1) - eredménye. Ez csak akkor lesz egész, ha 1/(k+1) egész; ami meg csak akkor lehetséges, ha k+1=1 vagy k+1=-1. Ezekből k=0 és k=-2 adódik. Ha k=0, akkor x=1 és y=2 (ezt már megkaptuk előbb is); ha k=-2, akkor x=-3, de ez nem természetes szám.

Így (szerintem) több megoldás nincs. Összefoglalva: ha a 0-t is természetes számnak vesszük, akkor két megoldás van (x=0, y=0 és x=1, y=2); ha nem vesszük annak, akkor csak egy.