Hogyan lehet kiszámolni hogy hányszor hosszabb a sinus vonal mint az egyenes vonal? Fényképen piros és fekete vonal?

Itt megválaszolják, bár az idézett Wikipédia-cikk (még) nem létezik magyarul:

[link]

A fél sinushullám hossza:

Integrál(1+(cosx)^2) 0 tól pi ig.

Tekintve, hogy nem elemien meghatározható integrál ez, numerikusan kell integrálnod.

Pl. Ha 10 felé osztod, akkor simpson formulával:

3,82 lesz az ívhossz.

Ezt kell osztani 3.141-el:

Ez pedig: 1,216.

Tehát 1.216-szor hosszabb, mint az egyenes.

(Felhasználtuk a szimmetriát.)

Egyébként a fél sinushullám hosszára lehet adni durva becslést: Felűlről pi átmérőjű félkör kerülettel, alúlról pedig y=(2/PI)*x fv. ill. ennek az x=pi/2 ordinátára tükrözött egyenes gráfja hosszával y=0..1 esetén.

A félkör kerülete: pi^2/2=4.934.

Az egyenesek hossza: 2sqrt(1+pi^2/4)=3.724.

Tehát:

4.934>ivhossz>3.724.

Ami megfelel előző megoldásunknak.

A felső becslés meg finomítható, ha a Bunyakovszkij-Schwarz féleformulát használjuk:

Ezzel az eredmény: pi*(gyök6)/2=3.848, felső becslés.

A számításom arra az esetre vonatkozik, amikor az amplitúdó 1 egység, a hullám periódusa pedig 2pi.

Természetesen tetszőleges A amplitúdóra is meghatározható egy közelítő formula, teljesen hasonló módszerekkel, mint amit az előzőekben alkalmaztam.