Gödel-tétel. Valaki el tudná nekem magyarázni úgy, hogy 17 éves létemre nagyjából megértsem?

Megadok többféle "fordítást" is:

Nincs olyan logikai rendszer, melyen belül minden igazság belátható, levezethető.

Nincs olyan következtetési rendszer, melyről a saját eszközeivel belátható, hogy ellentmondásmentes, vagyis minden következtetése helyes.

A világ összes ténye, igazsága, következtetése nem biztos, hogy egy nézőpont felhasználásával levonható, lehet, hogy a dolgokat több helyről is meg kell vizsgálni.

Létezhet olyan értelmes kérdés, melyre nem létezik értelmes válasz.

Ez igazából mind ugyanazt jelenti, csak máshogy megfogalmazva. Remélem segítettem!

A matematika felépítése úgy néz ki, hogy vannak bizonyos alapállítások, amiket igaznak fogadunk el minden bizonyítás nélkül, és utána ezekből kezdjük felépíteni a rendszert: az alapállításokból következnek más állítások, akkor azoknak is igaznak kell lenniük. Az ezekből következő állításoknak is igaznak kell lenniük akkor, stb.

Ezeket az alapigazságokat axiómáknak hívjuk. Ilyen lehet például hogy bármely két különböző ponton pontosan egy egyenes megy át, vagy pl. a párhuzamossági axióma, ami azt mondja ki, hogy adott pontra és egyenesre pontosan egy olyan egyenes létezik, ami átmegy a ponton, és merőleges az egyenesre. Ezek az állítások (meg még néhány) például a geometria alapjai, de sosem bizonyítják őket, mert eleve igaznak teszik fel őket.

Ebből igaziból az is látszik, hogy az önkényes dolog,, hogy mit tekintünk axiómának. Tekinthetnénk például azt is, hogy a párhuzamosság helyett azt tesszük fel, hogy bármely két egyenes metszi egymást, ezzel például az úgynevezett projektív geometriát kapnánk (lényegében). De azt is, hogy a Télapó létezik.

Szóval a lényeg, hogy igaziból mi határozhatjuk meg, mit fogadunk el alapigazságnak (axiómának), és a kapott rendszer eszerint fog változni. Az igaznak elfogadott axiómák összességét axióma-rendszernek nevezik (ebben akár végtelen sok axióma is lehet).

Az előzőek alapján tehát minden állítás igazsága a választott axióma-rendszertől függ: lehet igaz az egyik axióma-rendszer szerint, és lehet hamis a másik szerint. Sőt lehet olyan is, hogy nem eldönthető, azaz igaznak is meg hamisnak is vehetem, egyik se vezet ellentmondásra. A Gödel (első) tétele pont azt mondja ki, hogy minden "normális" axióma-rendszerhez van ilyen állítás, ami lehet igaz is vagy hamis is, nem lehet eldönteni.

A "normális" azt jelenti, hogy az axióma-rendszerem axiómái nem mondanak ellent egymásnak (például hogy van Télapó ill. nincs Télapó), és a természetes számok értelmezhetőek benne. Ha csak nem fogsz durván mély matematikával foglalkozni, akkor mindig ilyen axióma-rendszerekkel fogsz dolgozni.

A második vagyok, mire szeretnél példát?

Ha axióma-rendzserekre, akkor amiket használni szoktunk, és wikin megtalálod:

Halmazelméletben használatos - Zermelo-Fraenkel axióma rendszer (ZF), általában hozzáteszik az ún. Kiválasztási axiómát is, ekkor ZFC axióma-rendszernek hívják (a C a végén a Choice, a Kiv.axiómára utal).

A halmazelméletben az a király, hogy azzal úgy nagyjából az összes matematikai fogalom leírható (ami aztán kevésbé király,hogy elég keservesen), így amikor matekozol, általában csak azt teszed fel, hogy ZFC-ben vagy.

Aztán amikor különböző részeit nézed a matematikának, akkor ezt kiegészítheted annak a struktúrának a leírásával, amit nézel. Például ha épp a az euklideszi geometriát nézed, akkor veszed az azt leíró axiómákat, Párhuzamossági, stb.

A természetes számokra - Peano axiómák

Euklideszi geometriában - a Hilber-féle axiómarendszert használják általában

Ezek a legismertebbek, például a fenti Gödel-tételben a ez az "értelmezhetőek a természetes számok benne" dolog azt jelenti, hogy olyan az axióma-rendszerem van, amiből következik a Peano axióma-rendszer (valamivel gyengített változatta).

Ha olyan állítást szeretnél, ami független az axióma-rendszertől (tehát lehet igaz is meg hamis is), olyat bonyolult csinálni. A legismertebb az általában használt a Kontinuum Hipotézis. Ez bonyolult, ha még nem tanultál különböző fajta végtelenekről,de a lényeg, hogy végtelen fajta végtelen van, és ezek egymáshoz viszonyíthatók is, hogy melyik a nagyobb -mint az óviban, h ki mond nagyobb számot? akkor én végtelent mondok. De én nagyobb végtelent mondok.:))

Szóval másfajtán van végtelen a természetes számokból, és másképp van végtelen a valósokból. A természetes számokat fel tudod sorolni, azaz van olyan sorozatuk, amiben előbb-utóbb mindengyik természetes számhoz eljutsz, nevezetesen 0,1,2,...

A valósoknál nincs ilyen, ez másfajta végtelen, ezt kontinuumnak nevezzük,és ez több, mint a természetes számok féle végtelen.

A Kontinuum Hipotézis azt mondja ki, hogy e kettő között nincs más végtelen, azaz nincs olyan halmaz, aminek több eleme van, mint a term. számok, de kevesebb, mint a valósoknak.

Ez az állítás független a ZFC-től, így alapból igaznak is meg hamisnak is vehetjük, egyikkel sem fogunk ellentmondásba ütközni.

Egy kicsit egyszerűbb példa, amit még a mi Bólyaink látott be, a párhuzamossági axióma (vagy ötödik posztulátumnak is nevezik).

Ott az volt a vita, hogy a párhuzamossági axióma (van egy egyenes, és rajta kívül egy pont, akkor csak 1 darab olyan egyenes lehet amin rajta van a pont, de nem metszi az egyenesünket), következik-e a többiből, vagy sem. Évszázadokig próbálták belátni hogy igen, vagy sem, de egyik sem sikerült, mire Bólyai meg Lobacsevszkij egymástól függetlenül megalkották azt a geometriát, ahol ez az axióma nem teljesül (vagy máshogy szól). Ezzel belátva hogy akár hozzávesszük, akár nem, érvényes axióma rendszert kapunk. És nem mellesleg megszületett a nem-euklideszi geometria :)