Egy egység hosszúságú pálcát eltörünk, a két részből egy derékszögű 3szög két befogóját képezzük. Határozza meg az így keletkező átfogó minimális értékét. Megoldás?

sejtés: szimmetria okokból a=b=1/2 sejthető.

biz.:

pitagorasz szerint c^2= a^2 + b^2= a^2 + (1-a)^2=2 *a^2-2*a-1. mivel az oldalak pozitívak, elég ezt minimalizálni. továbbá elég a konstans nélkül, illetve kettővel osztva. vagyis a^2-a minimumát keressük. a^2-a = 0 egyetlen megoldása az a=1/2. ekkor b= 1/2, c= gyök(1/4 + 1/4)=gyök (1/2). ez tehát a szélsőérték. ha egy teszőleges értékre megnézzük, ennél nagyobban kapunk, tehát a sz.érték minimum.

kinga.grego@yahoo.com

a^2-a = 0 egyetlen megoldása az a=1/2.

Mi van?

Az a^2-a = 0-nak két megoldása van, a plusz 1 és a 0.

Amit te keresel, az ennek a minimuma, amit deriválás útján kaphatsz meg.

Az a^2-a deriváltja 2a-1. Ez akkor nulla, ha a = 0,5. És mivel ez egy vidám parabola (a másodfokú tag együtthatója pozitív), ezért ez minimumhely.

Tehát a konklúzió jó, de közben valamit nagyon elsiettél.

"sejtés: szimmetria okokból a=b=1/2 sejthető. "

Ilyesmit egy nem matekos sosem fog magától megsejteni.

A megsejtés itt úgy működik, hogy vizuálisan elképzeljük a háromszöget, majd tologatjuk az átfogót ide-oda, miközben az egyik befogó rövidül és a másik hosszabbodik. Ez alapján meg lehet sejteni, hogy a szélső helyzetekben lenne a leghosszabb az átfogó, és a középsőben a legrövidebb, ahol a=b.

jogos :D csak nagyon kerülni akartam a függvényvizsgálatot... de akkor most végre

az elemi megoldás:

tehát csak a^2-a minimumát keressük. teljes négyzetté alakítva a^2-a = (a-1/2)^2-1/4 ›= -1/4. a minimum a=1/2-nél van.

ugye elemi megoldás kellett?

kinga.grego@yahoo.com

Számomra a pont az utolsó válaszolóé!

Ha

a, b (b > a) - egy derékszögű háromszög két befogója

b = a + d

c - az átfogó

akkor

a² + b² = c²

ill

a² + (a + d)² = c²

Ebből látható, hogy a négyzetösszeg akkor a legkisebb, ha

d = 0

mivel d = b - a

b - a = 0

amiből

b = a

=====

esetén a legkisebb a négyzetösszeg, így az átfogó is.