Hogy kell a prímszámot kiszámítani?

Prímtényezőkre bontás: Ha megvan az Obádovics féle Matematika könyv (ha nincs, vedd meg!) akkor abban is benne van, vagy itt is van egy kis leírás, a 25. oldalon találod (ha jól emlékszem..)

[link]

Addig osztod, ameddig lehet

Közben felírkálod, hogy milyen számokkal osztottál.

Megpróbálom neked elmagyarázni a prímszámokat, és az alapján már te is meg tudod oldani a feladatot.

1) Minden egész számot le lehet írni egész számok szorzataként.

Pl:

100 = 10 * 10

100 = 2 * 2 * 25

100 = 2 * 50

100 = 1 * 2 * 50

100 = 1 * 1 * 1 * 100

Az utolsónál azt látjuk, hogy a szorzatban akárhányszor szerpelhet az 1-es szám, hiszen amit 1-gyel szorzol, azt visszakapod. Éppen ezért mondjuk azt, hogy egy szám szorzatra való felbontásában ne legyenek 1-esek.

Tehát vegyük ezeket:

100 = 2 * 50

100 = 1 * 2 * 50

100 = 1 * 1 * 1 * 2 * 50

És töröljük ki belőlük azt, ahol 1-gyel szorzunk, így a fenti három szorzatot nem tekintjük különbözőnek. Vagyis mind a három szorzat ugyanazt jelenti:

100 = 2 * 50

Ahhoz, hogy szorzattá alakítsd, a szám osztóira van szükséged. A 100-nak a 2 és az 50 is osztója.

Vannak olyan számok, amiket ha szorzatra akarsz bontani, akkor nem találsz olyan egész számot, amire fel tudnád bontani. Például ilyen a 7. A hetet csak így tudod szorzat alakban felírni:

7 = 1 * 7

De mivel az 1-et fentebb már kizártuk, ezért mondhatjuk, hogy a 7-nek az 1-en kívül csak önmaga az osztója. A 7 tehát PRÍM szám. A prím számokat nem tudod tovább bontani, de többit igen. Minden nemprím szám (összetett számnak hívják) felbontható prímek szorzatára.

Például vegyük a 100-at, alakítsuk át tetszőleges szorzattá:

100 = 4 * 25

Ez egy igaz állítás, de vajon prímek-e? Nézzük meg a 4-et, felírható-e szoraztként:

4 = 2 * 2

Ez tök jó, akkor írjuk fel a 100-at úgy, hogy a 4 helyett a 2 * 2-t írjuk:

100 = 2 * 2 * 25

Csakhogy a 25 is felírható máshogy: 5 * 5

100 = 2 * 2 * 5 * 5

Nézzük, mi van akkor, ha a 100-at elsőre nem 4 * 25 alakban írom fel?

100 = 5 * 20

Viszont a 20 tovább bontható: 2 * 10-re:

100 = 5 * 2 * 10

És a 10 még tovább:

100 = 5 * 2 * 5 * 2

Ez ugyanaz, csak más sorrendben felírva, mint az előző.

Az 5 és a 2 már tovább nem bontható, ezért ezek prímek.

Na jó, de hogyan ismerjünk fel egy prímet?

Sajnos a prímszámokat meg kell tanulni, legalábbis az első párat:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19.

Látható, hogy a 2-n kívül nincs páros prím szám. Miért? Mert a párosak már eleve olyan számok, amik oszthatóak kettővel, azaz úgy is felírhatóak, hogy 2*X. (pl 4 = 2 * 2) Azaz nem lehetnek prímek.

Aztán a számsor elején még csak a négyzetszámok (9 = 3 * 3; 15 = 5 * 5) azok, amik nem prímek, a többi páratlan egyben prím is.

Szóval ha van egy számod, amit fel akarsz bontani prímtényezőkre, akkor el kell kezdened osztogatni prímszámokkal. Ha páros, rögtön elosztod kettővel. Az így kapott számot is elosztod, egész addig, míg csak prímszámokból fel tudod írni a szorzatot.

pl:

690

Hát ez jó, mert 0-ra végződik, azaz 2-vel és 5-tel is osztható:

690 = 2 * 5 * 69

A 69 már nem páros, és 5-tel sem osztható tovább, ezért meg kell vizsgálni, hogy osztható-e 3-mal. Szabály: a számjegyek összege osztható legyen 3-mal: 69-nél ez igaz, így elosztjuk, kapunk 23-at. Ami prím:

690 = 2 * 5 * 3 * 23

Hogyan lehet eldönteni, hogy egy nagy szám prím-e?

Ez egyébként nem olyan könnyű ránézésre, próbálkozással kell. Vegyük például az 1089-et, és próbáljuk felbontani különböző szirzatokra:

1089 = 3 * 363

1089 = 11 * 99

1089 = 33 * 33

1089 = 99 * 11

1089 = 363 * 3

Azt látjuk, hogy a 363 * 3 és a 3 * 363 az ugyanaz, csak felcseréltem a két oldalát. Most kössük ki, hogy kizárólag olyan szorzatokat keresünk, ahol a kisebbet írjuk előre, vagy a tagok egyenlőek:

1089 = 3 * 363

1089 = 11 * 99

1089 = 33 * 33

Rögtön látjuk, hogy vannak olyan szorzatok, hogy ha az egyik szorzó nagyon kicsi, akkor a másik nagyon nagy, de ha az elsőt növelem, akkor a második csökken. Ha elértük azt, ahol a két szorzó egyforma, akkor már nem tudunk "újat mondani", ugyanazt kapjuk, csak felcserélve. Ez nagyon jó, mert így csak addig kell vizsgálgatni a számokat, amíg olyan szorzókig jutunk, hogy a szorzók egyformák legyenek. Ami nem más, mint a GYÖK. Vagyis gyököt vonunk, és csak a gyöknél kisebb és egyenlő számokat kell vizsgálnunk.

GYÖK(1089) = 33, vagyis csak 2 és 33 közt lehetnek a prímtényezős alakjai.

Vegyük például az 1307-et. Ugye akkor vonjunk gyököt:

Gyök(1307) = 36,15 (nem baj, ha nem egész szám)

Vagyis csak 46-ig kell megvizsgálni a számokat, hogy osztható-e velük az 1307.

2? nem

3? nem

5? nem

7? nem

11? nem

stb.

Nem találunk olyan prímet 36-ig, amivel osztható lenne, szóval 36 fölött se lesz. Ez tehát egy prím.

Ezek alapján a többi menni fog.

Kicsit rövidebben:

Csinálsz egy táblázatot két oszlopból. Az első oszlopba első sorába beírod a számot.

A második oszlop első sorában pedig (azaz a szám mellett) azt a legkisebb számot írod, amivel osztható a szám.

Ez után a második sor első oszlopába beírod az osztás eredményét, majd ugyanazt csinálod. Ha belegondolsz, a második szám legkisebb osztója mindig nagyobb vagy egyenlő lesz az előző legkisebb osztóval.

Akkor hagyod abba, ha az első oszlopbanban 1-esed maradt.

Ha jól csinálod, a második oszlopban lévő számok a primtényezői a számodnak. (Ha nem mindig a legkisebbet veszed, akkor nem!)

pl:(lehet, rosszul fog látszani)

1001 | 7

143 | 11

13 | 13

1 |

1001 = 7 * 11 * 13

60500 | 2

30250 | 2

15125 | 5

3025 | 5

605 | 5

121 | 11

11 | 11

1

60500=2*2*5*5*5*11*11 = 2^2 * 5^3 * 11^2