Matematikailag hogyan nagyobb a helykihasználtság?

Nem kell privátban lehülyézni, írd ki ide a problémádat!

De akkor itt válaszolok kedves üzenő:

Én arra gondoltam, hogy a tepsik általában nem kocka alakúak. Ez az adat hiányzik, hogy milyen méretekkel bíró tepsit kellene feltölteni.

Téglalap alakú tepsibe ha berakod a lehető legnagyobb körszeletű pogácsát (ami nem ellipszis, hanem kör!), akkor egy rakat üres hely marad még mellette.

Ugyanez a helyzet akkor is, ha valamelyik vagy mindkét oldalon marad valahányad (tehát nem egész) pogácsányi üres hely.

Érződik, hogy téglalap alakú tepsinél nem elég csak az egyik oldalhosszt figyelembe venni a felosztásnál, hanem figyelembe kell venni a másikat is, hogy ott is egész számú pogácsa férjen el, felesleges üres hely nélkül.

Tovább ezen logika alapján érződik az is, hogy a valóban optimális helykihasználást a változó méretű pogácsa jelenti. Hiszen ha marad üres hely, akkor oda még mindig befér egy kisebb méretű pogácsa és jobb lesz a kihasználtság.

Ezután ha még figyelembe vesszük azt is, hogy sütés közben valamennyit megy össze vagy szét a pogácsa, akkor lehet csak igazán kiszámolni, hogy milyen méretű pogácsakombinációk adják a legjobb helykihasználást úgy, hogy sütés közben még éppen nem érnek össze a szélek (mert akkor összesülnek). Na most, ezt az adatot ember legyen a talpán, aki meg tudja mondani. Talán egy szakács 20 év pogácsasütés után...

Egy-egy adott kör a befoglaló négyzetnek ugyanakkora hányadát borítja be, mérettől függetlenül. (Ha hatszöges elrendezéssel csináljuk, az eredmény akkor is ugyanígy független a méretektől.)

Hogy kisebb vagy nagyobb pogácsával tudjuk-e jobban kihasználni a tepsi felületét, az nem a pogik méretétől függ, hanem attól, hogy éppen a kisebb vagy nagyobb méretűvel érjük-e el pontosabban a tepsi szélét. Tehát a különbség kizárólag a széleken jelentkezik abban, hogy mekkora terület esik ki azért, mert már nem fér el oda egy egész kör. Ez pedig nem függ a körök méretétől, mert lehet, hogy pont a nagyobb körrel jutunk ki a szélre, meg lehet, hogy a kisebb körrel.

Példa: négyzetes elrendezés esetén 45 centis tepsiben, összeérő oldalakkal 4 centis pogácsából elfér 11 sor, és 1 cm üresen marad, kihasználatlanul. 5 centis pogival pont kihasználjuk a tepsit. 6 centissel kimarad 3 cm.

Hatszöges elrendezéssel, meg arányos hézagokkal rakva az eredmények mások lesznek, de a lényegen semmi nem változtat: egy-egy pogi a felületet ugyanolyan arányban foglalja el. Kizárólag a széleken megmaradó felület a különbség, ami nem a mérettel arányosan változik.