Igaz-e, hogy minden k természetes számra létezik p és q prím úgy, hogy 2k = p-q?

Felső korlát biztos, hogy nincs. Vegyünk egy nagy prímet, legyen ez „p”. Ebben az esetben p! nyilván összetett szám lesz, p!+2 osztható lesz 2-vel, p!+3 osztható lesz 3-mal, p!+4 osztható lesz 4-gyel, p!+5 osztható lesz 5-tel stb… p!+p szintén összetett lesz. Tehát a prímhézag bármilyen nagy lehet, így potenciálisan bármilyen nagy távolság lehet két egymást követő prím között.

(p! helyett írhattam volna az összes prím szorzatát p-ig bezárólag.)

De hogy tényleg minden páros számra lehet találni két olyan egymást követő prímet, aminek a különbsége ez, az ezt nem bizonyítja. Itt egyelőre nincs ötletem, hogy hogyan is lehetne ezt igazolni. Úgy érzetre igaznak tűnik, de ez csak sejtés.

Ez az egyik legbiztosabban igaz, de nem bizonyított sejtés. És ha a világ matematikusainak eddig nem sikerült bizonyítania, akkor azt nem itt a gyk-n fogod megkapni. :D

Pár szót arról, hogy mennyire biztosan igaznak tűnik ez a sejtés:

Minden n=2k -ra kb. 10^18-10^19-ig igazolva van.

Bármely észszerűen nagy n-hez nagyon könnyű kis, megfelelő q-t találni, kb/legfeljebb ln(n)^3-ig, pl.:

Ha n=10^44 + [0,2,4,6, ...] akkor ezekhez a legkisebb megfelelő q értékek

[31, 29, 53, 823, 23, 47, 19, 17, 41, 13, 11, 881, 7, 5, 3, 643, 277, 23, 1051, 19, ...]

Az első millió között a legnagyobb: 9739, ami még ln(n)^2 ≈ 10000-nél is kevesebb, ám az ln(n)^2, mint felső határ, biztosan nem jó, hiszen a prímhézagok is lehetnek ekkorák, lásd Cramer-sejtés, Firoozbakht-sejtés.

Jól látható, hogy n-hez (vagy k-hoz) képest már milyen pici megfelelő q-t, ill. p-t lehet találni, akkor végtelenig ...?