Kezdőoldal » Tudományok » Alkalmazott tudományok » Milyen hosszan van szabadon...

Milyen hosszan van szabadon egy ismert hosszú szíj két különböző, de ismert átmérőjű kerék között?

Figyelt kérdés

Adott egy vékony (gyakorlatban hosszbordás) szíj ismert kerületi hosszal és két különböző, de ismert átmérőjű szíjtárcsa. Ki kellene számítanom a pontos szabad szíjhosszat a két tárcsa között, de valahogy mindig elakadok.


Annyira már rájöttem, hogy ha ismert a két kerék közti tengelytávolság, akkor már nem probléma abból átszámolni a kérdéses méretet. Az interneten találtam is tengelytávolság-kalkulátort, de a probléma elméleti megoldására akkor is kíváncsi vagyok!


(A szabad szíjhossz ismerete nagyon is gyakorlatias dolog, hisz ennek a rezonanciafrekvenciájából könnyen meg lehet állapítani a szíjfeszességet.)



#tengelytavolsag #szíjtárcsa #szíjfeszesség #gépszíj #szíjfeszmérés
2021. máj. 3. 01:35
 1/5 anonim ***** válasza:

Jól értem, hogy azt a részt akarod kiszámolni, ami nem fekszik a tárcsákra? Ha igen, akkor:


-Felrajzolod az ábrát.

-Tudni kell, hogy a szíj matematikailag érintője a körnek, az érintési pontba futó sugár pedig merőleges rá. Ez alapján az ábrába be tudsz rajzolni egy derékszögű trapézt; behúzod az említett sugarakat és összekötöd a körök középpontjait, a trapéz negyedik oldala a szabad szíjrész lesz (a két párhuzamos a két sugár lesz, amik az érintési pontba futnak).

-Ennek a trapéznak ismered három oldalát és a negyediket szeretnéd megtudni, ehhez húzzuk be a trapéz magasságát a rövidebbik oldal végéből, így a trapézt egy téglalapra és értelemszeren egy derékszögű háromszögre vágtuk fel, ahol a háromszög átfogója a kérdés. Kis gondolkodás után rájövünk, hogy a derékszögű háromszög befogóit ki tudjuk számolni, így egy sima Pitagorasz-tétellel már ki is jön az átfogó hossza.

2021. máj. 3. 02:21
Hasznos számodra ez a válasz?
 2/5 A kérdező kommentje:

#1 köszönöm a választ, de a kérdésemből nyilvánvaló, hogy idáig már én is eljutottam. A lényegi probléma az, hogy nem ismerem a "trapéz" mindhárom oldalát - csak kettőt!


Ugyanis a tengelytávolságot nem tudom se megmérni (tényleg van ilyen hozzáférhetetlen helyen egy gépkocsiban) - se kiszámolni (mert ahhoz valahogy most indiszponált vagyok, vagy tehetségtelen matekos). Persze a tengelytávolságra már megvolt az on-line kalkulátor, de engem tényleg érdekelne a számítás módszere is!


(Valahogy nem tudom meghatározni a kérdéses trapéz, vagy az abból eredő háromszögek nem derékszögű szögeit.)

2021. máj. 3. 02:54
 3/5 anonim ***** válasza:

Felírható rá összefüggés, de ezt az életben nem oldod meg algebrailag (esetleg ha tudsz Taylor-sorba fejteni, akkor lehet szép eredményeket elérni).


A képlet:


K = 2*l + 2*r*pi*(2*z/360°) + 2*R*pi*((360°-2*z)/360°)


A képletben a szereposztás a következő:


K: a kerület, vagyis esetünkben a szíj teljes hossza (hogyha a lehető legmerevebben van rátekerve)

l: a "szabad szíjhossz"

r: a kisebbik tárcsa sugara

pi: a kör kerületképletéből jól ismert konstans, amit 3,14-re szoktunk kerekíteni

R: a nagyobbik tárcsa sugara

2*z: azt tudjuk, hogy a szíj a körökre egy körcikk ívén fekszik fel. A 2*z annak a körcikknek a középponti szögét jelöli, amelynek ívére felfekszik a szíj (a szöget fokban mérjük).


Most jön a bonyodalom; hogyan számolható ki a z szög nagysága?


Az ábrában berajzolható a jól ismert derékszögű háromszög. Ennek egyik befogója R-r hosszú, átfogója legyen d (ez a tengelyek távolsága), innen egy sima szinusszal


sin(z) = l/d


Viszont a derékszögű háromszögben felírható Pitagorasz tétele:


(R-r)^2 + l^2 = d^2, vagyis


gyök[(R-r)^2 + l^2)] = d (NEM VONHATUNK GYÖKÖT TAGONKÉNT!)


Ezt beírva a szinuszba:


sin(z) = l/gyök[(R-r)^2 + l^2)], ennek a megoldása z-re:


z = arcsin{ l/gyök[(R-r)^2 + l^2)] }, az eredményt fokban értjük.


A különböző zárójelek csak a jobb áttekinthetőséget szolgálják, funkciójukat tekintve nincs különbség.


Ez természetesen beírható a fenti képletben z helyére.


Szóval kaptunk egy nagyon csúnya polinom+arkuszszinuszos vegyes rusnyaságot, de legalább csak 1 ismeretlen van az egyenletben, az l. Most vagy megpróbálkozol az adataiddal valami értékelhetőt kihozni az egyenletből (mint az előbb említett Taylor-sorfejtés, amit ha a négyzetes tagig csinálsz meg, akkor egy másodfokú egyenletet kapsz, amit még emberi keretek között meg lehet oldani), vagy bepattintod egy WolframAlphába:


[link]


Aztán hátha ad ki valami értékelhetőt.


Oda kell viszont figyelni, mert a WolframAlpha alapvetően radiánban számol, nem fokkal, tehát ha kijön az eredmény, és visszaellenőrzöl, akkor az arcsin(...) értékre a WolframAlpha egy radiánértéket ad ki. Ha tudsz radiánnal továbbszámolni a kerülethez, akkor nincsen semmi probléma, viszont ha fokkal szeretnél számolni, akkor át kell váltanod a radiánértéket fokba; ehhez azt kell tudnod, hogy


pi radián = 180°, innen pedig az egyenes arányosság elve alapján

1 radián = 180°/pi, innen pedig

(amilyen radiánt kaptál) radián = (amilyen radiánt kaptál)*180°/pi, és így jön ki a szög fokban a jobb oldalra.

2021. máj. 3. 13:01
Hasznos számodra ez a válasz?
 4/5 anonim ***** válasza:

Illetve lehet egy kicsit segíteni a WolframAlphának, hogyha a derékszögű háromszögben nem szinusszal számolunk, hanem koszinusszal:


cos(z) = (R-r)/gyök[(R-r)^2 + l^2)], innen


z = arccos { (R-r)/gyök[(R-r)^2 + l^2)] }


A fő képletben pedig felcserélődtek az "r"-ek. Helyesen:


K = 2*l + 2*R*pi*(2*z/360°) + 2*r*pi*((360°-2*z)/360°)


A z szög pedig a NAGY TÁRCSÁRA vonatkozik.

2021. máj. 3. 13:06
Hasznos számodra ez a válasz?
 5/5 A kérdező kommentje:

Köszönöm a válaszokat!

Már aggódtam, hogy csak én nem vagyok képes belátni egy egyszerű geometriai problémát. Most már egyértelmű, hogy nem triviális feladatról van szó. Taylor sorral kb. 20 éve számoltam utoljára, most teljesen le vagyok tompulva a komolyabb matekot illetően. Remélem néhány hónapon belül jut majd egy kis időm a matekozásra is!


Most vibra-szenzort bütykölök egy univerzális szkópra, hogy az autón be tudjam állítani az előírásos szíjfeszességeket. Mivel gyenge vagyok matekból, így modern társadalmunkban nem sokra vittem - és így értelemszerűen nem telik autószervizre. (Persze kérdés: Egy felkent "autószerelő szaki" képes-e ennyit b@szakodni a szíjfeszesség problémakörével?)

2021. máj. 3. 15:08

Kapcsolódó kérdések:




Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!