Ezeket mi alapján találták ki?

> Ugye, hogy például a mÍnusz számot, ha negatívval szorozzuk, akkor plusz.

Tételezzük fel, hogy érted a természetes számok műveleteinek sajátosságát. Pl. hogy a szorzás disztributív az összeadásra nézve. Tehát:

a * (b+c) = a*b + a*c

Meg azt, hogy érted, hogy az összeadás is, a szorzás is asszociatív és kommutatív…

~ ~ ~

Vegyük a következő kifejezést:

(-a) * b

(ahol a és b pozitív)

Oké, most adjuk hozzá ezt:

a * b

Ezt kapjuk:

(-a) * b + a * b = ((-a)+a) * b = 0 * b = 0

Röviden:

(-a) * b + a * b = 0

Jó, most vonjuk ki mindkét oldalból (a * b) -t:

(-a) * b + a * b = 0

(-a) * b = -(a * b)

Konkrét példa:

-3 * 4 = -(3 * 4) = -12

Kicsit általánosítva mindenféle cserélgetésekre:

(-a) * b = b * (-a) = a * (-b) = (-b) * a = -(a*b) = -(b*a)

~ ~ ~

Oké, most ennek ismeretében nézzük meg ha a másik tényező is negatív:

(-c) * (-d)

(ahol c és d pozitív)

Ehhez most ezt adjuk hozzá:

c * (-d)

Ezt kapjuk:

(-c) * (-d) + c * (-d) = ((-c)+c) * (-d) = 0 * (-d) = 0

Röviden:

(-c) * (-d) + c * (-d) = 0

Most mindkét oldalból vonjunk ki (c * (-d)) -t:

(-c) * (-d) = -(c * (-d))

Ugye tudjuk, hogy c * (-d) negatív, amit újra negálva pozitívat kapunk:

(-c) * (-d) = -(c * (-d)) = -(-(c*d)) = c*d

~ ~ ~

> Vagy ott vannak a komplex számok.

> x^2=-1

Ez csak egy egyenlet.

A komplex számok esetén a kiterjesztés az, hogy legyen egy „i” egység, amire igaz, hogy:

i² = -1

Nyilván így:

i = √(-1)

Ez egy definíciós kérdés. Azért legyen i annyi, amennyi, mert azt mondtuk. Nyilván azért, mert a műveletek összefüggéseiből ez volt a leginkább logikusnak tűnő. Akár halmazelméleti, akár geometria, akár algebrai oldalról közelítjük meg, ez a magától értődő kiterjesztése a számhalmaznak. És azért is jó, hogy így állapítottuk meg, mert így a már meglévő műveletek konzisztensek maradnak.