∞ - ∞ = 0?

Könnyen be lehet látni, hogy a különbség bármennyi lehet;

Vegyük azt az összeget, hogy 1+1+1+1+..., tehát végtelen darab 1-est, így nyilván ∞=1+1+1+1+.... Ez az összeg úgy is felírható, hogy 0+1+1+1+1+..., és mivel a 0 nem változtat az összegen, ezért ∞=0+1+1+1+1+..., tehát a két összeg azonos.

Most nézzük, mi van akkor, hogyha ezt a kettőt kivonjuk egymásból; szándékosan egymás alá írom a tagokat:

1 + 1 + 1 + 1 + ...

0 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...

Magát a kivonást úgy is elvégezhetjük, hogy a közvetlen egymás felett állókat vonjuk ki egymásból, és ezeket az eredményeket adjuk össze; 1-0=1, 1-1=0, 1-1=0, ..., és ezek összege: 1+0+0+0+...=1, tehát a két végtelen különbsége 1 lett.

Értelemszerűen ugyanúgy kihozható belőle a 2, a 3, és így tovább, sőt, még a végtelen is.

Ezért is mondjuk azt, hogy végtelenek különbsége nem értelmezhető általánosságban (mint ahogy a 0/0 sem értelmezhető általánosságban).

A végtelen sose egy adott szám.

Épp ezért a két végtelen, amit használsz, egyáltalán nem biztos, hogy egyenlő lesz.

Az eredmény -∞ -től +∞ -ig bármi lehet, nulla is - attól függ, hogy éppen mit jelent nálad a használt 2 végtelen mennyiség.

Tegyük félre az absztrakt matematikát és vegyünk valamilyen szemléletes példát.

Pl. van végtelen sok almád. Szépen be is sorszámozod őket. 1. alma, 2. alma, 3. alma…

Oké. Ebből elosztogatsz végtelen sokat. De ezt többféle módon is megteheted.

Nyilván a legtriviálisabb, ha úgy osztogatod el az almákat, hogy az 1. szembejövő kapja az 1. almát, a 2. a másodikat. Végtelen sok embernek adsz almát, ami így szépen el is fog fogyni. Ebben a konkrét esetben:

∞ - ∞ = 0

Pl. az első 10 almát megtartod magadnak. Az első szembejövőnek adod a 11. almát, a 2. szembejövőnek a 12. almát, az hatezredik szembejövőnek az 6010. almát. Végtelen sok embernek fog almát adni, azaz végtelen sok almát veszel el a sajátjaidból, de mégis marad nálad 10 alma. Nem kell senkinek sem azt mondanod, hogy „sajnos neked nem tudok már almát adni, mert elfogyott”, hiszen végtelen sok almád van, azaz nincs vége az almák sorának, nincs egy utolsó almád, amit elosztogatva nincs ez azt követő alma.

Tehát ebben a konkrét esetben:

∞ - ∞ = 10

De hogy hány almát hagysz meg magadnak, az önkényes. Félretehetsz 523 almát, és így az 1. szembejövő kapja az 524. almát, a második az 525. almát stb… Ebben a konkrét esetben:

∞ - ∞ = 523

Itt minden sorszámmal ellátott almához tartozik egy sorszámmal ellátott ember. Az első esetben az n. alma az n. emberé. A második esetben az n. alma az n-10. emberé, a harmadik esetben az n. alma az n+523. emberé.

~ ~ ~

De akár adósságba is kerülhetsz. Pl. jön egy „0”-ás mezben lévő ember. Te nézegeted az almákat. Az 1. alma az 1-es mezben lévő emberé lesz. A 2. alma a 2-es mezben lévő emberé lesz. Minden alma ahhoz az emberhez fog kerülni, akinek a mezén olyan szám van, ami az almára, mint sorszám van írva. De 0-ás sorszámú almád nincs, hiszen ahogy szokás, 1-től kezded el a számozást. Így hát kénytelen vagy azt mondani a „0”-ás mezben lévő embernek, hogy neki bizony nincs olyan almád, ami neki lenne szánva, neki tartozni fogsz egy almával, ha neki is adni akarsz. Ebben a konkrét esetben:

∞ - ∞ = -1

Hasonló logikával egy konkrét esetben lehet, hogy:

∞ - ∞ = -378

~ ~ ~

Sőt. Megteheted azt is, hogy csak minden második almát osztogatsz szét. Az 1. ember kapja a 2. almát, a 2. ember a 4. almát, a 8. ember kapja a 16. almát. Így is végtelen sok számú embernek tudtál almát adni – kivonni a saját almáid közül –, mégis végtelen sok almád maradt, hiszen nálad van az 1., a 3., az 5., a 7. és az összes páratlan sorszámú alma. Márpedig páratlan számból végtelen sok van, így végtelen sok almád maradt. Tehát ebben a konkrét esetben:

∞ - ∞ = ∞

Az is lehet, hogy mindenkinek két almát ígérsz. Itt az sem mindegy, hogy hogyan is osztogatod az almát. Megteheted azt, hogy az első embernek adod az első két almát, a második embernek a második két almát, stb… Így minden embernek tudsz adni két almát. Viszont ha elköveted azt a balgaságot, hogy az első embernek adsz egy almát, és azt mondod, hogy majd ha mindenkinek kiosztasz egyet, akkor kap egy másodikat, akkor gond van. Ugyanis végtelen sok embernek fogsz végtelen sok almát kiosztani – azaz végtelen számú almából végtelen számút kivonni –, és akárhogy is nézzük, végtelen sok embernek fogsz egy-egy almával tartozni. Ebben az esetben pl.:

∞ - ∞ = -∞

~ ~ ~

Összességében elmondható, hogy

∞ + n = ∞

∞ - n = ∞

∞ * n = ∞

∞ / n = ∞

Ahol „n” egy véges szám.

Sőt:

∞ + ∞ = ∞

∞ * ∞ = ∞

Ami viszont nincs értelmezve:

∞ - ∞ = ?

∞ / ∞ = ?

∞ * 0 = ?

~ ~ ~

A végtelen nem szám. A végtelen egy jelleg, ami pusztán annyit fejez ki, hogy „bármilyen elképzelhető véges számnál nagyobb”. Bizonyos esetekben – pl. határértékként – lehet vele műveleteket végezni. Viszont a végtelen nem egy szám, nem egy konkrét szám. Pl. a végtelen nem páros, nem páratlan, úgy alapvetően nincs értelmezve az oszthatóság. Vagy pl. nincs első és nincs utolsó számjegye. A végtelen nem egész, nem is racionális szám, nem is irracionális szám. Ilyen szám jellegű tulajdonságai nincsenek a végtelennek, pontosabban nem értelmezhető a végtelenre. Ilyen tulajdonságai maximum akkor lehetnek, ha határértékként kezeljük, tehát úgy, hogy ha egy változó minden véges határon túl nő – vagy végtelenül kis lépésekkel közelít meg egy értéket –, akkor a változót tartalmazó kifejezés milyen jelleget mutat, az is minden határon túl nő-e, vagy konvergál-e egy bizonyos értékhez, ebben az esetben pl. lehet, hogy az így kiszámolt végtelen pl. páros. Egy másik kifejezésnél meg páratlan.

Pl. ha „n” egész és a végtelen felé tart, akkor „2n” is a végtelen felé tart, és bármilyen véges n esetén páros lesz. Tehát ebben az esetben 2n úgy végtelen, hogy közben páros számként viselkedik. Nyilván „2n+1” is a végtelen felél tart, ami viszont minden véges n esetén páratlan.

A kettő különbsége is érdekes. Pl. ha n egész, és a végtelen felé tart, akkor 2n+3 is a végtelen felé tart, meg 2n-5 is a végtelen felé tart. A kettő különbsége meg bármilyen valós n esetén:

(2n+3) - (2n-5) = 8

Tehát a (2n+3)-(2n-5) az „n”-től függetlenül mindig 8. A (2n+3) is a végtelen felé tart, a (2n-5) is a végtelen felé tart, a kettő különbsége meg a 8-hoz tart, tehát:

∞ - ∞ = 8.

Hasonlóan a „3n” a végtelen felé tart, „2n” is a végtelen felé tart. A kettő különbsége:

3n - 2n = n

Tehát a kettő különbsége mindig „n”, ami viszont a végtelenhez tart. Tehát:

∞ - ∞ = ∞

Persze meg is fordíthatjuk, és kivonhatjuk a 2n-ből a 3n-t is. Ebben az esetben meg a különbség (-n) lesz, és mivel n a végtelenhez tart, ezért (-n) a mínusz végtelenhez fog tartani.

Gimiben sose ment a matek, de az ilyen különleges esetek mindig érdekeltek. :D

Na és mínusz végtelen + végtelen = 0?

> Na és mínusz végtelen + végtelen = 0?

Ez ugyanaz. Nyolcból kivonunk hármat, az ekvivalens azzal, mintha a mínusz háromhoz adnánk hozzá nyolcat.

a - b = a + (-b) = (-b) + a

Ergo

(-∞) + ∞ = ∞ + (-∞) = ∞ - ∞