Lehet PHP-ben élő kvíz alkalmazást írni, vagy inkább más szerver oldali nyelvet ajánlanátok hozzá?

Lehet.

Persze, hogy lehet, teljes értékű programnyelv. A nyelvek között sok minden alapján lehet választani, de ha nincs saját szervered, és nem értesz a szerverüzemeltetéshez, akkor fel kell tenni valamilyen ingyenes vagy fizetős webhelyre, és akkor nagyon hamar rá fogsz jönni, hogy még mindig nagyjából a PHP meg a PHP között lehet választani. Ha kikötöd a fent felsorolt nyelvek valamelyikét, akkor pillanatok alatt be fog szűkülni a választék néhány szolgáltatóra, amikkel meg más probléma lesz. Én is akartam Pythont fizetős(!) webhelyen, aztán a többi szempont mérlegelése után fel kellett adnom.