Ha van egy szerveren egy php programom, és szeretném, ha az én szerveremen lévő adatbázisból lekérdezést futtasson, hogyan tudok kapcsolódni hozzá?

tehát valami szerverről akarsz az otthoni gépedre csatlakozni?

Nem biztos, hogy fog menni. kell hozzá portforward, fixIP, ha ezek vannak, akkor állítsd be, hogy a géped csak a szerver IP-jéről fogadjon el a mysql portján kapcsolatot (jobb routerek tudnak ilyet)

Aztán beállítasz egy olyan usert a gépeden futó mysqlbe, ami csak a szerver IP-jéről fogad el kapcsolatot, és azokat az adatokat írod a php-be, és localhost helyett a Te IP-det írod be.