Miért más az IP-m, ha modemről és ha routerről csatlakozom?

A szolgáltató nem ad fix IPt ha csak külön ezért nem fizetsz, ezzel is kiküszöbölve hogy nehezebben futtathass otthonról weblapot, szervert..

#2 - valószínűleg úgy oldják meg, hogy elvileg két IP-t is elhasználhatsz egyszerre. Ennek az az oka, hogy többen "szórakoznak" azzal, hogy csereberélik a gépeket a modemük mögött, és nem akarnak vacakolni ügyfélszolgálaton a "nem kapok IP címet" panaszokkal. Ha elég gyorsan cseréled vissza, akkor a router-edhez tartozó DHCP lease még nem járt le, tehát visszakaptad azt.

Hát így már érdekesebb.. de dhcp van valószínűleg, ha más eszköznek más IP-t ad, illetve lehet, hogy ha sokáig nem lenne online a router-ed, előbb-utóbb más IP-t kapna az is. Azt lehetne megnézni, mekkora lease időt mutat a kliens (a router-edet nem ismerem, de a PC-n biztos ki tudod deríteni, hogy a kapott IP cím meddig érvényes, magyar Windows-ok valami szörnyű okból ezt bérleti időnek, vagy mi a szösznek hívják). Ez lehet elég magas is (akár egy hét).

Nem, ezt a kliens is tudja. Tudnia kell, ugyanis a szabányos működés esetén a lejárati idő felénél megpróbálja meghosszabbítani a lease-t, és ezt a műveletet a kliens kezdeményezi.