Melyik az az n szám amire igaz a feltétel?

Ez miféle versenyfeladat? Eléggé könnyű.

Amire neked szükséged van, az a számtani sorozat összegképlete.

Első körben vezessük be az n=2k helyettesítést, így a 2+4+6+...+2k összeggel foglalkozunk. Ez az összeg egy számtani sorozat tagjait tartalmazza, amelynek első tagja 2, differenciája 2, utolsó tagja 2k, és k darab tagot tartalmaz, így a számtani sorozatra vonatkozó összegképlet szerint ezt kapjuk:

(2 + 2k)*k/2 = ... = (k+1)*k

Az a kérdés, hogy ez a szorzat milyen pozitív egész k-ra osztható 2023-mal. Írjuk fel a 2023 prímtényezős felbontását:

2023 = 7*17*17, tehát a két tényezőnek "összességében" ezekkel a prímtényezőkkel kell oszthatóaknak lenniük. Ennek megfelelően ezeket az eseteket tudjuk megkülönböztetni:

a) (k+1) osztható 1-gyel és k osztható 2023-mal, vagy fordítva

b) (k+1) osztható 7-tel és k osztható 17*17=289-cel, vagy fordítva

c) (k+1) osztható 17-tel és k osztható 7*17=119-cel, vagy fordítva

Ezeket az eseteket nézzük külön-külön;

a1) (k+1) osztható 1-gyel, ezt minden szám tudja, k osztható 2023-mal, ez csak úgy lehet, hogyha k=2023*m alakú, tehát ez lesz az egyik megoldás. Mivel az eredeti feladat n értékére kíváncsi, arra pedig n=2k igaz, ezért n=2*2023*m, vagyis n=4046*m, ahol m bármilyen pozitív egész szám lehet.

a2) k osztható 1-gyel, ezt még mindig tudja minden szám, (k+1) osztható 2023-mal, és itt is igaz, hogy akkor 2023*t alakban keressük a megoldásokat, tehát k+1=2023*t, erre pedig k=2023*t-1 adódik, innen pedig n=2*(2023*t-1)=4046*t-2, ahol t bármilyen pozitív egész szám.

b1) (k+1) osztható 7-tel, vagyis k+1=7*f, innen pedig k=7f-1. A k szám osztható kell, hogy legyen 289-cel, tehát 7f-1=289*z, rendezés után f=(289z+1)/7. Érdemes elvégezni az osztást, amennyire csak lehet: = 41 + (2z+1)/7, itt pedig az a kérdés, hogy ennek milyen z-re lesz egész eredménye. Manuálisan meg tudjuk keresni a legkisebb megoldást, ez a z=3, innen pedig 7-esével követik egymást a megoldások (z=10,17,...), tehát z=3+7*r (ahol r értéke 0 vagy pozitív egész), és innen szépen visszafejtegetünk;

f = ((289*(3+7r))+1)/7 = 289r+124, innen

k = 7*(289r+124)-1 = 2023r+867, és innen

n = 2*(2023r+867) = 4046r+1734, ahol r értéke 0 vagy pozitív egész.

b2) (k+1) osztható 289-vel, vagyis k+1=289*w, vagyis k=289w-1. A k osztható kell, hogy legyen 7-tel, így 289w-1=7*h, itt is érdemesebb 7-tel osztani: h=(289w-1)/7, elvégezzük az osztást: h = 41 + (2w-1)/7, ennek legkisebb megoldása a w=4, és itt is 7-esével követik egymást a megoldások, tehát w=4+7*s, és innen visszafejtünk:

k=289*(4+7s)-1=2023s+1155, innen

n=2*(2023s+1155)=4046s+2310, ahol s 0 vagy pozitív egész.

c) (k+1) osztható 17-tel, de k a 119-cel való oszthatóság miatt szintén osztható 17-tel is. Látható, hogy k és (k+1) két, egymást követő egész szám, amelyek közül egyszerre csak az egyik lehet osztható 17-tel, tehát itt nem fogunk megoldást találni.

Tehát n lehetséges értékei:

4046*m, ahol m pozitív egész szám

4046*t-2, ahol t pozitív egész szám

4046r+1734, ahol r nemnegatív egész szám

4046s+2310, ahol s nemnegatív egész szám