1,4,9,16, 0,2,6,12,20, 1,3,6,10,15, Mik lesznek a következő számok?

Az elsőnél azok a számok szerepelnek növekvő sörrendben, amik felírhatók 4^n*(8*k + 1) alakban, ahol n és k nem negatív egész számok. Például

1 = 4^0*(8*0 + 1),

4 = 4^1*(8*0 + 1),

9 = 4^0*(8*1 + 1),

16 = 4^2*(8*0 + 1);

de például a 2, 3, 5, 6 és 7 nem írhatók fel ilyen alakban, mert ha n és k is nagyobb, mint 0, akkor ezeknek se a 4^n, se a 8*k + 1 nem lesz osztója (ha mindkettő 0, akkor meg ugye egyértelműen az 1-et kapjuk). Ez alapján következő számok:

17 = 4^0*(8*2 + 1),

25 = 4^0*(8*3 + 1),

33 = 4^0*(8*4 + 1),

36 = 4^1*(8*1 + 1),

41 = 4^0*(8*5 + 1),

…

A másodiknál ezek azok a számok, amiket 11-gyel szorozva és 7-et hozzájuk adva prímet kapunk:

11*0 + 7 = 7: prím.

11*2 + 7 = 29: prím.

11*6 + 7 = 73: prím.

11*12 + 7 = 139: prím.

11*20 + 7 = 227: prím.

Tehát a következő számok: 24, 26, 30, 32, 44, 50,…

Tessék kipróbálni.

A harmadiknál bajban vagyok, mert most vagy arról van szó, hogy hányféle értéket vehet fel a n^2 + k^2 kifejezés, ha a n és k a [0, m] intervallumbeli egész számok:

m = 0: 1-féle érték (0^2 + 0^2 = 1);

m = 1: 3-féle érték (0^2 + 0^2 = 0, 0^2 + 1^2 = 1^2 + 0^2 = 1, 1^2 + 1^2 = 2);

m = 2: 6-féle érték (0, 1, 4, 2, 5, 8);

m = 3: 10-féle érték (0, 1, 4, 9, 2, 5, 10, 8, 13, 18);

m = 4: 15-féle érték;

és akkor a következő számok

20, 27, 34, 42,…

vagy pedig arról, hogy ha van egy n×n-es négyzetrácsunk, akkor azon legfeljebb hány rácspontot tudunk kijelölni úgy, hogy semelyik 4 kijelölt ne alkosson négyzetet.

n = 0: 0×0-s rácson nyilván 1-et.

n = 1: 1×1-es (éppen 1 darab négyzetet tartalmazó) rácson legfeljebb 3-at.

n = 2-re éppen 6 adódik, n = 3-ra 10, n = 4-re 15…

a következő számok pedig a 21, 27, 34, 42,… lesznek.

Így valóban, 21 is lehet a megfejtés.