Ez volt fakton a házink. Megpróbáltam megcsinalni, de nem sokáig jutottam. Valaki le tudná írni a megoldásokat?

Ha jól látom, ez mind a mértani sorra megy, tehát ha

(1) belátod, hogy az „és így tovább” alatt mindig q-szorosára változik a hossz/terület/kerület/felszín/… (valóban mértani sorozatot összegzünk), és

(2) kiszámolod, hogy az első elem hossza/területe/… X,

akkor a végeredmény mindig egyszerűen

X/(1 – q)

lesz, ha |q| < 1, különben divergál (erről azért emlékezz meg mindig, hogy ez teljesül-e).

[link]

α) feladat:

(1) Ha az n-edik lépés után c_n távolságra vagy a csúcstól, akkor az n-edik szakasz hossza x_n = c_n*sin(α) lesz; és c_(n+1) = c_n*cos(α) távolságra kerülünk a csúcstól, tehát

x_(n + 1) = c_(n + 1)*sin(α) = c_n*cos(α)*sin(α).

Bármilyen n-re. Ezért valóban mértani sorozatról van szó, aminek kvóciense

q = x_(n + 1)/x_n = c_n*cos(α)*sin(α)/(c_n*sin(α)) = cos(α),

és ennek az abszolút értéke valóban kisebb egynél hegyes szögekre (másrészt oszthattunk, mert a szintén α hegyes volna miatt a szinusz/koszinusz nem 0, és a c_n = 0 csak akkor lehetne, ha c = 0 volt, de azt vizsgáld meg külön).

(2) A törött vonal első szakaszának a hossza

X = c*sin(α).

Helyettesítve a fenti képletbe a végeredmény c*ctg(α).

Kockák térfogata:

(1) Ha az n-edik kocka éle a_n, akkor a térfogata V_n = a_n^3, és az ebbe írt gömb átmérője d_n = a_n éppen az (n + 1)-edik kocka testátlója, tehát

gyök(3)*a_(n + 1) = d_n = a_n --> a_(n + 1) = a_n/gyök(3) = gyök(3)/3*a_n. Ezzel

q = V_(n + 1)/V_n = a_(n + 1)^3/a_n^3 = (gyök(3)/3)^3 = gyök(3)/9,

minden n-re, és ennek az abszolút értéke valóban kisebb egynél (és ha r nem 0, akkor a_n-nel is oszthattunk).

(2) Az első kocka testátlója éppen a gömb r sugarának duplája, tehát az a élére az egyenlet

d = gyök(3)*a = 2*r --> a = 2/gyök(3)*r,

így a térfogata

X = a^3 = (2/gyök(3)*r)^3 = 8*gyök(3)/9*r^3,

tessék helyettesíteni.

A négyzeteknél megint ugyanez, a kocka felszíneknél majd el kell osztani az X/(1 – q)-t az első gömb felszínével.

Illetve az α) feladatnál

> „Helyettesítve a fenti képletbe a végeredmény c*ctg(α).”

helyett inkább c*ctg(α/2) a végeredmény. Bocsánat, hogy elnéztem.