Valaki érthetően eltudja magyarázni a normál vektort?

"elforgatott: úgy képezzük, hogy a két koordinátát felcseréljük, és amelyik előre jön, annak megváltoztatjuk az előjelét."

Ez igaz, de akkor is normálvektort kapunk, hogyha a másik koordináta előjelét változtatjuk, ekkor az előbb kapott normálvektornak (-1)-szerese lesz.

"(-3;2)

(3;-2)

Ez lesz akkor a normál vektora az AB vektornak?ez merőleges vele"

Igen, többek között ezek is normálvektorok lesznek. Tudjuk, hogy ha egy vektort megszorzunk egy tetszőleges nemnulla skalárral (számmal), akkor a vektornak csak a hossza változik, iránya nem, például az 5*(3;-2)=(15;-10) is normálvektora lesz az irányvektornak.

Az is megérne egy misét, hogy miért pontosan így képezzük a normálvektort; azt nem nehéz kitalálni, hogy a tengelyekkel párhuzamos vektoroknak mi a normálvektora; vegyük az i egységvektort, ha ezt elforgatjuk pozitív irányba (az óramutató járásával ellentétesen) 90°-kal, akkor pont a j egységvektort kapjuk. Ha ezt is elforgatjuk 90°-kal, akkor a -i egységvektort kapjuk, ezután a -j egységvektort, végül visszajutunk az i-hez.

Tehát a 90°-onként pozitív irányba forgatunk, akkor:

i -> j -> -i -> -j -> i -> ...

Igazság szerint nekünk csak annyi a lényeg, hogy az i-ből j lesz, a j-ből -i, és eszerint elég csak a betűket változtatni.

De miért is jó nekünk, hogy ezt felfedeztük? Azért, mert minden vektor felírható az i és j vektorok lineáris kombinációjaként (összegeként), a példában szereplő vektor úgy, hogy (-2)*i+(-3)*j (avagy az origóból 2-t balra lépünk és 3-at le, akkor ugyanoda jutunk, ahova a (-2;-3) vektor mutat). Amikor elforgatjuk ezt a vektort, akkor gyakorlatilag ezeket a tengelyekkel párhuzamos komponenseket is elforgatjuk 90°-kal, így a (-2)*i vektorból (-2)*j lesz a fentiek értelmében (illetve a 2*(-i)-ből 2*(-j)=(-2)*j), a (-3)*j-ből (-3)*(-i)=3*i (illetve a 3*(-j)-ből 3*i), tehát eredményül a 3*i+(-2)*j vektort kapjuk, vagyis a (3;-2) vektort.

Ha az ellenkező forgatási iránnyal kapott vektort akarjuk megtudni, akkor a fenti forgatási sort csak fordított irányba kell felírni, és abból kiolvasható lesz a (-3;2)-es eredmény.

"És olyankor mi van,ha csak egy pont van megadva, és a normálvektor nincs megadva, akkor nem megoldható a feladat?

Mert ha van egy pontom pl C(1;2) akkor ebből nem tudok normálvektort készíteni nem?"

Azt már Euklidész óta tudjuk, hogy két pont egyértelműen meghatároz egy egyenest (illetve szakaszt), egy pont végtelen sok egyenest és szakaszt (és így vektort) határoz meg. Innentől kezdve, mivel semmi más nincs megadva, ezért egyértelműen semmit, de gyakorlatilag bármit mondhatunk (már ha egyenesekről van szó). Az egy jó felvetés a 10-es részéről, hogy a feladat szerint a HELYvektor a C pontba mutat, ekkor egyértelmű (a helyvektor definíciója szerint), hogy annak kezdőpontja az origó, azzal már lehet számolni.