Egy homogén tömegeloszlású, balra-jobbra szimmetrikus vonat észak fele halad. A tömegközéppontja h -val van a sínek fölött, a két sín távolsága 1.25m. Mennyi a bal és jobb sínt nyomó erők hányadosa?

Nyeh… Ehhez nem gondolkozni kell, csak számolni.

A nyomóerők vízszintes komponenseinek nagysága ugye kifejezetten a vonat kerekeinek és a sínek kialakításának függvénye, arról nem sokat lehet mondani. Ebből kifolyólag az erők nagyságának hányadosát se lehet pontosan megmondani, de az közelítőleg, viszonylag kis sebességeknél* úgy is a függőleges komponensek hányadosa. Az viszont megvan:

Bf/Jf = (G*d – 2*C*h)/(G*d + 2*C*h),

ahol G egy effektív nehézségi erő nagysága, d = 1,25 m a sínek távolsága és C a Coriolis-erő nagysága.

Ha a vonat tömege m, és v sebességgel éppen a φ-edik szélességi körön halad (φ ∈ [–π/2, π/2] a déli szélességekre negatív), akkor

C = 2*m*v*ω*sin(φ),

ahol ω ≈ 7,292e–5 1/s a Föld szögsebessége. A másik betű pedig

G ≈ m*(g – v^2/R),

ahol g a vonat helyén mért nehézségi gyorsulás† és R ≈ 6,371e6 m a Föld sugara. Vegyük észre, hogy a végeredményből m kiesik.

----------

*Valamivel nagyobb sebességekre is megvan a formula legalábbis a második lábjegyzetben ismertetett modellben†. Sőt, feltéve, hogy a nyomóerők vízszintes komponenseinek nagyságára Bv:Jv = (1–α):α, még az erők nagyságának hányadosát is meg lehet mondani. (Viszont arra kifejezetten ronda a képlet, de az is megvan.)

†Ha a Földet egy homogén, M tömegű, R sugarú, ω szögsebességgel forgó gömbbel modellezzük, és kikötjük, hogy egyik sínről sem emelkedhetnek el a kerekek (meg természetesen a mindenféle súrlódásokat is elhanyagoljuk), akkor

G = m*gyök((γ*M/R^2 – v^2/R)^2 – 2*(γ*M/R^2 – v^2/R)*R*ω^2*cos(φ)^2 + R^2*ω^4*cos(φ)^2),

ahol γ a gravitációs állandó. A gyök alatti utolsó tagot elhanyagolva, az első tagot kiemelve, és a maradékot gyök(1 – 2*x) ≈ 1 – x alapján közelítve

G ≈ m*(γ*M/R^2 – R*ω^2*cos(φ)^2 – v^2/R) = m*(g – v^2/R),

ahol bevezettem a g = γ*M/R^2 – R*ω^2*cos(φ)^2 jelölést a nehézségi gyorsulás nagyságára.

Az is a modell része, hogy a sínpár nincs döntve, tehát a két sín azonos magasságban fut, természetesen. Különben a függőleges komponensek hányadosáról se lehet sokat mondani… Illetve a sínek távolsága alatt a nyomóerők támadáspontjának távolságát értjük.

Amúgy G-t és C-t helyettesítve, v^2/R-et elhanyagolva (ez a tag úgy 200-300 m/s sebesség körül kezd beleszólni a 3. tizedesjegybe, ha jól emlékszem, miket írt tegnap a számológépem):

Bf/Jf ≈ (1 – 4*h*ω/(d*g) * v*sin(φ))/(1 + 4*h*ω/(d*g) * v*sin(φ)).

Amúgy a sínek távolsága hogyhogy nem kompatibilis a szabványos nyomtávokkal? Miért nem adtad meg h-t is numerikusan?