Hány olyan kétjegyű természetes szám van, amely 5-tel osztva 2-t ad maradékul?

Ha már azt tudjuk, amit az első mondott, akkor tényleg nem nehéz kitalálni.

Az 5-tel való oszthatóság egy elég könnyen kezelhető dolog, csak az utolsó számjegytől függ az oszthatóság; ha az utolsó számjegy 0 vagy 5, akkor maradék nélkül megvan benne az 5. Ha ehhez hozzáadunk 2-t, akkor 2-re vagy 7-re végződő számot kapunk, és érthető okokból 2 maradékot fog adni.

De, hogy hogyan lehet az ilyen feladatokat megoldani általánosan, arra is lássunk egy példát; első körben keressük meg a legkisebb ilyen számot, ez a 12 lesz. A következő a 17. Aztán a 22. Aztán a 27. És így tovább. Azt vehetjük észre, hogy a számok 5-ösével követik egymást (általánosságban majd a feladatban szereplő osztóval fog nőni, így ha például 7-tel vizsgáljuk azt oszthatóságot/maradékot, akkor 7-esével). Amit még érdemes észrevenni:

12=12

17=12+5

22=12+5+5=17+2*5

27=12+5+5+5=12+3*5

Ez azt jelenti, hogy az összes keresett szám felírható 12+k*5 alakban, ahol k tetszőleges egész (negatív is lehet, így az eredmény is lehet negatív, és ott is van értelme az oszthatóságnak/maradéknak). Mivel ezekből nekünk csak a kétjegyű számok kellenek, ezért el kell érnünk, hogy ez a kifejezés 10 és 99 közé essen, tehát:

10 <= 12+k*5 <= 99, kivonunk 12-t:

-2 <= k*5 <= 87, végül osztunk 5-tel:

-0,4 <= k <= 17,4. Mivel k egész, ezért azokat az egész számokat kell összeszednünk, amelyek igazzá teszik az egyenlőtlenséget, ez most a 0-tól 17-ig terjedő egész számok. 0-tól 17-ig összesen 18 szám van, tehát k helyére 18 szám kerülhet, ezzel 18 olyan számot kapva, amelyek 5-tel osztva 2-t adnak maradékul, tehát 18-an vannak a kérdéses számok.

Valójában nem kellett volna a 12-től elindulni, de ha már kétjegyű számokról volt szó, ezért kézenfekvő volt. Kezdhettük volna akár a 2-től is, és úgy is minden esetben 5-tel osztva 2-es maraékú számokat kaptunk volna (2, 7, 12, 17, stb.), ekkor a keresett számok 2+k*5 alakúak lettek volna, és így az egyenlőtlenség megoldáshalmaza is változott volna, ami viszont nem, az a számossága, vagyis ugyanúgy 18-féle számot írhattunk volna k helyére, és ugyanúgy kijött volna, hogy a kétjegyű számok között 18 olyan van, ami a feltételeknek megfelel.