Szerintetek egy 8. -os meg tudná oldani ezt a feladatot? Kitaláltam egy feladatot és feladhatnám egy versenyen, mert lehetőségem nyílt rá.

Nem tudom, valóban te találtad-e ki, de ez egy "szakállas" feladat: 1981-es közgázos matek felvételi 6-os feladata.

Én nem adnám fel a saját nevemben, mert ez egy eléggé ismert feladat, legalábbis hivatkoznék a forrásra.

A megoldáshoz valóban elegendő a 8-ikos ismeretanyag, de leginkább országos döntős feladatnak tudom elképzelni.

Ez a szöveges megfogalmazás pedig elég erőltetett, nem frappáns, nem jobb, mint ha simán megfogalmaznád. Pláne egy versenyen nem kell attól tartani, hogy "száraznak" ítélik a szöveget.

Ezzel az a baj, hogy a feladatod bizonyítása triviális, mert nem kötötted ki, hogy a csiga hány napig megy. Ha nem pusztul meg az egyik nap, hanem csak megy-megy-megy, akkor gyakorlatilag végtelen hosszú szakaszt fog megtenni, a végtelent pedig nem lehet megfelezni, ergo triviális, hogy ellentmondásra jutunk.

Ha pedig megáll a csiga az egyik nap, akkor grafikus módon szinte óvodás szinten lehet igazolni a feladatot:

"Első nap megtesz egy bizonyos távolságot, ami több egységnyi hosszú. A következő nap megteszi ugyan azt a távolságot és még megy egy egységet."

Mondjuk akkor húzok egy vonalat a 3-hoz a számegyenesen, mert végülis az több egységnyi hosszú. Aztán húzok egyet az 7-hez és a 12-höz is, mert holnap és holnapután annyit tesz meg és így tovább a pihenés napjáig.

Aztán egy másik jelöléssel megfelezem az úthosszt, azt is megfelezem, stb., látható lesz, hogy nem tudom úgy megfelezni (felbontani), hogy pontosan 1 egységnyi legyen az út hossza. Ha kicsit gondolkozunk még, akkor nyilvánvaló, hogy nincs olyan 1-nél nagyobb szám, amit ha megfelezek 1-et kapok.

Szerintem ez így kevés egy versenyfeladathoz.

A megoldáshoz elegendő az elsős ismeretanyag is. (Mint ahogy a Fermat-tétel bizonyításához is.)

Ugyan már, az oszthatóság meg a számelmélet alaptétele nélkül mégis mit vársz? Persze van aki ismeri, más meg "fel tudja találni" mondjuk a kongruenciaosztályokat, de ez így nem való. (Az a megoldás amit én találtam, épít a SZAT-re. Meg lehet kerülni persze, meg amúgy sem kell általánosságban csak 2-hatványokra, de ehhez a tanmenet szerint semmilyen eszközük nincs + nem is láttak hasonlót. De mondjuk egy okosabb elsős megérti a bizonyítást ha erről van szó.)

-- --

Más: amúgy hol lehet a legkönnyebben elérni a tanmenetet? Sok olyan kérdés van, hogy mikor tanulnak kik és mit, de nehéz ezeket megtalálni.

Na jó, álljon itt egy bizonyítás, mert miért ne. (Tabletről pötyögök, a hibákért előre is elnézést.)

1. Lemma (SZAT): Ha k>1 páratlan szám, és n>0 egész, akkor k*n nem kettőhatvány.

Bizonyítás: vegyünk egy k oszlopból és n sorból álló téglalapot (mondjuk piros-kék korongokból), és kezdjük el felfordítani őket balról jobbra, lentről fel haladva, 1-gyel kezdve, mindig 2x annyit. Bármilyen n-re csak akkor kaphatnánk így egy k*n-es téglalapot, ha az utolsó lépés előtt a legfelső megkezdett sorban k/2 korong állna, de az nem lehet, mert k páratlan.

2. Ha egy szám duplája nem kettőhatvány, akkor a szám sem az. (Ezt könnyű meggondolni.)

3. Vegyük a d,d+1,...,d+r-1 egymást követő számokat, rakjuk ki ezt is korongokból, d magas oszlop, mellette egy d+1 magas oszlop, sít. (Egy d*r-es téglalap, a tetején a (d-1) oldalú derékszögű háromszöggel.)

Vegyük még egyszer ugyanezt, és rakjuk a tetejére. Ekkor egy téglalapot kapunk. Ha r, az oszlopok száma páratlan, akkor kész vagyunk, ez nem kettőhatvány az 1.LEMMA miatt. Ha r páros, akkor meg az így kapott téglalap magassága (2d + r-1) lesz páratlan, elforgatva ugyanígy az 1.LEMMA miatt nem lehet kettőhatvány.

Mivel a szám duplája nem kettőhatvány, az eredeti szám sem az, így d,d+1,...,d+r-1 sem.

(Szerintem ezt megérti egy okosabb elsős?)

A + (A+1) + (A+2) + .... + (A+N) = 2 ^ k

Bal oldalon N+1 darab tag

számtani sorozat összegképlete, majd átszorzok 2-vel:

(2A + N ) * (N + 1 ) = 2 ^ (k+1)

Bal oldalon valamelyik tényező mindenképp páratlan és nagyobb 1-nél, míg a jobb oldalon csak 2-esek állnak tényezőként, tehát nem lehet egyenlő a két oldal.

Igazából a számtani sorozat összegképletére volt szüksége (szerintem az 8. osztályos anyag), és minimális oszthatósági ismeretre, szerintem simán mehetne versenyfeladatnak.