A nagyi sütött az unokáinak süteményt. Megszámlálta és azt mondta magában: "Hogy mindegyik unokámnak öt süteményt adjak, ahhoz még sütnöm kéne 3 süteményt. De ha csak 4 süteményt adok, akkor 3 sütemény megmarad. " Hány unokája van a nagymamának?

Azért szeretem a szöveges példákat, mert néha (nem mindig) van olyan megoldásuk is, amit filmszerűen is el lehet képzelni, és nem is kell hozzá egyenlet. Pontosabban: az egyenlet tulajdonképpen ugyanazt írja le, amit filmként is le lehetne pergetni.

Szóval ott áll a nagymama a kormos tepsiben levő sütikkel, és gondolkodik. Amíg töpreng, benyúl egy tolvaj az ablakon és elemel 3 sütit. Szegény nagymama mérges, de nincs mit tenni, beviszi a maradék sütiket és kiosztja az unokáknak. Mint a feladat is írja, a 3-mal kevesebb sütit úgy tudja szétosztani, hogy minden egyes unoka 4-4 sütit kap. Ott ülnek az unokák a szőnyegen, mindegyiknek a tányérjában ott van a 4-4 süti.

Hirtelen nyílik az ajtó, és bűnbánó arccal megjelenik a ,,tolvaj'', a szomszéd gyereke. A nagymama kezébe nyomja az ellopott 3 sütit. A gyerek mögött ott áll a szomszéd, ő is bocsánatot kér, és pluszban még ad a nagymamának 3 sütit, kárpótlásul a bosszúságért és az ijedtségért.

A nagymamának tehát most megvan az eredeti összes sütije, plusz még három is ráadásul. A feladat szerint ekkor úgy lehet szétosztani a sütiket, hogy minden unokának 5-5 süti jusson. A nagymama tehát megteheti, hogy a szomszéd és a gyerek által hozott 6 sütit pluszban ráporciózza az unokák tányérjára, úgy, hogy az unokák tányérján immár ne 4, hanem 5 süti díszelegjen. Lényegében arról van szó, hogy a 6 sütit (3 visszahozva, 3 pluszban hozzáadva), úgy szét tudja osztani az unokák között, hogy mindegyik +1 sütit kapjon. Tehát a 6 süteményt rátéve az unokák tányérjára, mindegyik unokának egy jutott belőle, vagyis 6 unokának kell lennie összesen.

Ha mégis le kéne írnia fenti történetet jelekkel, akkor így is meglehetne tenni.

A feladatban sütemények, unokák szerepelnek. Egyelőre sem a sütikről, sem az unokákról nem tudjuk, hányan vannak. Ezért egyelőre meg kell elégednünk azzal, hogy legalább magát a feladatot megfogalmazzunk a matematika nyelvén. De mivel nem ismerjük a sütik és az unokák számát, ezért ideiglenesen kénytelen vagyunk ezek helyett betűjelöléseket használni. Persze titkon abban reményedünk, hogy olyan összefüggésekre bukkanunk előbb-utóbb, amiből már ez is ,,visszafejthető'', visszakövetkeztethető'' lesz.

Szóval jelöljük a sütik számát s-sel, az unokák számát meg u-val. No most már leírhatjuk a feladat mondatait matematikai nyelven is:

,,Hogy mindegyik unokámnak öt süteményt adjak, ahhoz még sütnöm kéne 3 süteményt. ''

Ha minden egyes unoka tányérján 5 süti van, az összesen 5u db süteményt jelent.

Ha a nagymama még 3 sütit süt a tepsibe (és a tepsiben eredetileg s volt a sütik száma), akkor a ,,rásütés'' után immár s + 3 süti lesz.

A két mondat így összekapocsolva épp arról szól, hogy ez a két mennyiség azonos:

5u = s + 3

Most nézzük a nagymama másik mondatát:

,,De ha csak 4 süteményt adok [minden egyes unokának], akkor 3 sütemény megmarad [az összesből].''

Itt is nézzük meg az egyes részmondatokat:

,,De ha csak 4 süteményt adok [minden egyes unokának],''

tudjuk, hogy ahhoz 4u sütemény kéne (ha u jelöli az unokák számát)

nézzük a másik részmondatot is:

,,akkor 3 sütemény megmarad [az összesből].''

Ha az összes süti s db, és abból 3-at nem használok fel, akkor csak s-3 süti ,,kerül forgalomba''.

A két részmodat együtt tehát azt jelenti, hogy ez a két mennyiség azonos:

4u = s - 3

No most írjuk le a két egyenletet, ezt is, meg azt is, amit korábban kaptunk:

5u = s + 3

4u = s - 3

Ha a két egyenletet ,,kivonjuk egymásból'', akkor kijön: u = 6.

Persze nem teljesen magától értetődő, miért is ,,szabad egymásból egyenleteket kivonni''. Épp ezért érdemes visszagondolni az egyenletek eredeti jelentésére (a nagymama mondataira). Lányegében a korábban lepergetett filmjelenetet épp ezt írja le.

Az első Válaszoló által leírt

5x - 3 = 4x + 3

egyenlet is jól írja le a feladatot. Ezt az egyenletet is el lehet mondani hétköznapi szavakkal.

Ott áll a nagymama a tepsivel, rajta a sütik, és gondokodik. Két dolgot tehet.

1) Bemegy a szomszédhoz, és kér tőle kölcsön 3 sütit, vállalva ezáltal, hogy így adósságba veri magát. Ezután szétsztja a sütiket, minden unokának jut 5, de a nagymama 3 sütivel adós marad.

Az unokák tányérján díszelgő sütik száma összesen: 5u (u-val jelölöm az unokák számát)

A nagymama ,,vagyona'' a szétosztás után: -3 (vagyis 3 sütivel adós maradt)

Vagyis 5u - 3 süti volt eredetileg a nagymama ,,sütivagyona''.

2)

A másik lehetőség: nagymama rosszban van a szomszéddal, vag nem sereti az adóósáég gondolatát. Szétosztja a sütiket úgy, hogy minden unkoka tányérjára csak 4 süti jut, a tepsiben marad 3.

Az unokák tányérján díszelgő sütik száma összesen: 4u (megintcsak u-val jelölöm az unokák számát)

A nagymama ,,vagyona'' a szétosztás után: 3 (hiszen 3 sütimaradt a tepsiben)

Vagyis 4u + 3 süti volt eredetileg a nagymama ,,sütivagyona''.

Szóval ez a két döntési lehetőség áll a nagymama előtt. De akárhogy is dönt, ugyanannyi süti sült ki a sütőben mindkét esetben, nem a megsült sütik számában tér el a két eset, hanem a szétosztás módjában. A nagymama ,,eredeti sütivagyona'' mindkét esetben ugyanannyi, Ezt a számot, vagyis a sütőben kisült sütik számát fejezi ki

az ,,5u - 3'' kifejezés is,

és a ,,4u + 3'' kifejezés is.

Tehát ugyanannak a mennyiségnek a kétféle kifejezéséről van szó:

5u - 3 = 4u + 3

ez az, amit az első Válaszoló is írt, csak Ő az unokák számát x-szel jelölte, én meg u-val. Szóval ez a megfontolás (,,történet'', ,,film'') áll mögötte, ezt lehet elképzelni hozzá.