Hogy lehet ebből (a+b) ^k ≤ 2^ (k-1) (a^k+b^k) kihozni ezt (a+b) ^ (k+1) ≤ 2^k (a^ (k+1) +b^ (k+1) )?

(a+b) ^ (k+1) = (a+b)*(a+b) ^ k

Ez Indukciós feltevést felhasználva:

<=(a+b) * 2^ (k-1) (a^k+b^k) = megcserélve a sorrendet a szorzásnál = 2^ (k-1)* [(a+b) (a^k+b^k)]

szögletes zárójelben lévő tagokat beszorzom:

= 2^ (k-1)* [a^(k+1)+b^(k+1)+b*a^k+a*b^k]

Azt kell még belátni, hogy b*a^k+a*b^k<=a^(k+1)+b^(k+1)

Vigyük egy oldalra:

0<=a^(k+1)+b^(k+1) -b*a^k-a*b^k = a^k*(a-b) + b^k(b-a) = (a-b)*(a^k-b^k)

Ez mindig igaz. Ha a=b, akkor 0<=0

Ha a>b, akkor 0<=pozitív*pozitív

Ha b>0, akkor 0<= negatív*negatív

Tehát

= 2^ (k-1)* [a^(k+1)+b^(k+1)+b*a^k+a*b^k] <= 2^ (k-1)* [a^(k+1)+b^(k+1)+a^(k+1)+b^(k+1)]

= 2^ (k-1) * 2*[a^(k+1)+b^(k+1)] = 2^k * [a^(k+1)+b^(k+1)]

Ezt akartuk bizonyítani.