Hogyan kell megoldani az alábbi 3 változós egyenletrendszert?

Az első egyenletet kifejezzük c-re: c=2-b-a, ezt beírjuk a második egyenletben c helyére:

a^2 + b^2 + (2-b-a)^2 = 6

Ez egy másodfokú egyenlet, amit megoldhatsz úgy is, mint egy parametrikus másodfokú egyenletet; ha b-t veszed az ismeretlennek, akkor a lesz a paraméter, tehát a-t úgy kezeled, mint a számokat, így felírod a megoldóképletet, és b=valamit kapsz.

A harmadik egyenletben szintén beírod c helyére a 2-b-a kifejezést, majd ebben b helyére beírod annak "értékét", így már csak egy egyismeretlenes harmadfokú egyenlet marad (illetve b értékeitől függően két egyenlet lesz), amit már talán meg tudsz oldani (a "talán" itt azt jelenti, hogy egyszerűbb eszközökkel, például gyökteszttel is meg tudod találni a megoldásokat).

Általában az ilyen négyzetes meg köbös feladatoknál erőből nem szokott kijönni az eredmény, trükközni kell.

Általában az a trükk, hogy veszed az első egyenlet négyzetét és köbét. Majd kihasználod a másik két egyenletet.

Veszed az első egyenlet négyzetét:

4 = (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2*(ab+ac+bc)

Itt kihasználod, hogy a négyzetek összege meg van adva:

4 = 6 + 2*(ab+ac+bc)

-1 = ab+ac+bc (*)

Most veszed az első egyenlet köbét:

(a+b+c)^3 = a^3+ b^3+c^3 + 3*(a^2*b + a*b^2+ a^2*c + a*c^2 + b^2*c + b*c^2) + 6abc

2^3 = 8 + 3*(a^2*b + a*b^2+ a^2*c + a*c^2 + b^2*c + b*c^2) + 6abc

0 = a^2*b + a*b^2+ a^2*c + a*c^2 + b^2*c + b*c^2 + 2abc

Adjunk hozzá még 1x abc-t:

abc = (a^2*b + a*b^2+ abc) + (a^2*c + a*c^2 + abc) + (b^2*c + b*c^2 + abc)

A zárójeles tagokban kiemelhető a*b,a*c és b*c

abc = ab*(a+b+c) + bc*(a+b+c) + ac*(a+b+c)

abc = 2* (ab+ac+bc) = -2

(ez mutatja azt is, hogy egyik ismeretlen se 0)

a-t emeljünk ki * -ból:

-1 = a*(b+c)+b*c

b+c= 2-a

b*c = -2/a

-1 = a*(2-a) -2/a

Sikerült egy ismeretlenre redukálni.

De ez egy harmadfokú egyenlet. Szorozzunk fel a-val.

-a = a^2*(2-a) -2

0 = a^2*(2-a) -2 + a

0 = a^2*(2-a) -(2-a)

0 = (a^2-1)*(2-a)

Innen a = -1, 1, 2 jön ki.

Visszahelyettesítéssel kijön, hogy b és c ugyanezeket az értékeket veszi fel permutálva.

Pl:

b+c= 2-a

b*c = -2/a

a=-1

b+c = 3

b*c = 2

b*(3-b)=2

Ebből kijön, hogy b=1 vagy 2.

Hát ez jó hosszú lett. Lehet, hogy a direkt módszerrel is kijön ennyi számolással. De az se lesz ennél sokkal egyszerűbb abban biztos vagyok.

Amit még hozzátennék:

"Ez egy másodfokú egyenlet, amit megoldhatsz úgy is, mint egy parametrikus másodfokú egyenletet"

Ez elvileg igaz, csak hogy eleve 2 megoldás lesz, és gyökjelekkel tarkítve.

Ezt utána beírni egy köbre emelős egyenletbe biztos, hogy rémálom.