Tudnátok nekem segíteni matekban?

Rajzolj (képzelj) a szabályos nyolcszög (minden szöge és minden oldala egyenlő) köré egy kört úgy, hogy a nyolcszög csúcsain halad át a körvonal.

A kör középpontjából (ami a nyolcszögnek is a közepe) rajzolj (képzelj) minden csúcshoz egy vonalat. Ezek a vonalak és a nyolcszög oldalai háromszögeket képeznek, pontosan nyolcat.

Mivel a szabályos nyolcszög minden oldala egyenlő,

• ezek a háromszögek egyenlők egymással, és

• egyenlőszárúak, és

• száraik a kör sugarai,

• a középpontnál levő szögeik is egyenlők, és egy-egy háromszögben 360° / 8 = 45°-osak.

Nézzünk egy háromszöget!

Egyenlőszárú, szárainak hossza 40 cm.

Az alapra rajzolt magasságvonal

• két azonos derékszögű háromszögre bontja az egyenlőszárú háromszöget, és

• egy derékszögű háromszög átfogója 40 cm és

• a magasságvonal és az átfogó által bezárt szög 45° / 2 = 22,5°-os.

A derékszögű háromszög területének meghatározásához a két befogó hosszára van szükség.

A 22,5°-os szög melletti befogó és átfogó esetén:

cos(α) = befogó / átfogó ◄ *átfogó

átfogó * cos(α) = befogó

40 * cos(22,5°) ≈ 40 * 0,92388 ≈ 36,955 cm.

A másik befogó hossza kétféleképp számítható: szinusz függvénnyel és Pitagorasz-tétellel.

Ez utóbbival:

a² + 36,955² = 40² ◄ -36,955²

a² = 40² - 36,955²

a² ≈ 234,328 ◄ √

a ≈ 15,30778 cm.

A két befogó hosszának ismeretében kiszámítható a derékszögű háromszög területe:

(36,955 * 15,30778) / 2 ≈ 282,8495 cm².

Egy egyenlőszárú háromszög területe ennek 2-szerese, a nyolcszög területe pedig egy egyenlőszárú háromszög területének a 8-szorosa.

A nyolcszög területe 282,8495 * 2 * 8 ≈ 4525,592 cm².

A kör területe 40² * π≈ 5026,548 cm².

A hulladék 5026,548 - 4525,592 = 500,956 cm².

V á l a s z : a) A nyolcszög a kör területének (500,956 / 5026,548) * 100 ≈ 9,9662 %-a, ami kb. 10%.

A stoptábla területe 4525,592 cm².

A piros rész területének meghatározásához, a középpontot a piros rész sarkához húzott vonal 40 – 5 = 35 cm-es. (Ez a piros nyolcszöget alkotó egyik egyenlőszárú háromszög szárának hossza.)

A piros rész területe is szabályos nyolcszög, területe ugyanúgy számolható, mint a teljes stoptábláé. A lépések összevonásával:

r² * sin(360/8) * 8 / 2 = 35² * sin(45°) * 4 = 1225 * 0,707107 * 4 = 3464,823 cm².

A fehér rész 4525,592 - 3464,823 = 1060,769 cm².

V á l a s z : b) Ez 1060,769 / 3464,823-ed része a piros résznek. Százalékban: 1060,769 / 3464,823 * 100 = 30,6154%.

Bocsánat, a)-nál a hulladék volt a kérdés. Számszerűleg jó is, csak rossz szöveget írtam.

A helyes szöveg: A hulladék a kör területének …