Részletes megoldást? (matek)

Amúgy ez az x^4 + 4 középiskolában a „vegyük észre, hogy” tipikus esete.

Talán lehet valamit okoskodni, ha ráérünk, hogy majdcsak szétesik másodfokú kifejezésekre, azaz lesz egy a*x^2 + b*x + c és egy A*x^2 + B*x + C alakú tényezőnk. Ezek szorzata

a*A*x^4 + (a*B + b*A)*x^3 + (a*C + b*B + c*A)*x^2 + (b*C + c*B)*x + c*C = 1*x^4 + 0*x^3 + 0*x^2 + 0*x + 4.

Innét van egy egyenletrendszerünk:

(1) a*A = 1,

(2) a*B + b*A = 0,

(3) a*C + b*B + c*A = 0,

(4) b*C + c*B = 0,

(5) c*C = 4.

Na most itt nyilván nem lesz egyértelmű a megoldás, mert nyugodtan tolhatunk olyat, hogy az egyik tényezőt megszorozzuk d-vel, a másikat pedig 1/d-vel, és akkor is jó megoldás lesz, tehát mondhatjuk, hogy mondjuk a = 1. És akkor jók vagyunk, mert már csak 5 ismeretlenünk van, és az egyenleteink száma is pont 5. Szóval ha a = 1, akkor az első egyenlet miatt a másik, nagy A-ra is A = 1. Ezt helyettesítve a többibe:

(2) B + b = 0,

(3) C + b*B + c = 0,

(4) b*C + c*B = 0,

(5) c*C = 4.

Ez azért már egy egész baráti egyenletrendszer, szerintem te is meg tudod oldani.

Ugye (2)-ből: B = –b, és (5)-ből C = 4/c (illetve az is látszik, hogy semelyik c nem 0). Ezeket helyettesítve

(3) 4/c – b^2 + c = 0,

(4) b*4/c – c*b = 0.

Szorozva c-vel

(3) 4 – c*b^2 + c^2 = 0,

(4) 4*b – c^2*b = 0.

(4)-ben kiemelve b-t:

b*(4 – c^2) = 0.

2 lehetőség van:

(4a) b = 0,

vagy

(4b) 4 – c^2 = 0.

Az (a)-s esetben a (3)-as egyenlet így néz ki:

4 + c^2 = 0.

Ennek nincsen megoldása, így már csak a (b)-s lehetőség jön szóba.

A (b)-s lehetőséget nézve

c^2 = 4, azaz (i) c = 2 vagy (j) c = –2.

Az (i) esetben:

(3i) 4 – 2*b^2 + 4 = 0,

(3i) 2*b^2 = 8,

(3i) b^2 = 4,

azaz b = 2 vagy b = –2.

Ha b = 2, akkor B = –2, c = 2-ből tudjuk, hogy C = 2, végül megállapodtunk, hogy a = 1, így A = 1, tehát a megoldás

x^4 + 4 = (1*x^2 + 2*x + 2)*(1*x^2 – 2*x + 2) = (x^2 + 2*x + 2)*(x^2 – 2*x + 2).

Ha b = –2, akkor a megoldás

x^4 + 4 = (1*x^2 – 2*x + 2)*(1*x^2 + 2*x + 2) = (x^2 – 2*x + 2)*(x^2 + 2*x + 2),

ami pont ugyanaz, mint az előbb, csak a tényezők megcserélődtek.

A teljesség kedvéért vizsgáljuk meg a (j) lehetőséget is. (3)-ba helyettesítve

(3j) 4 + 2*b^2 + 4 = 0,

(3j) b^2 = –4,

és ennek nincs megoldása. Tehát csak az az egy megoldás van, amit az előbb találtunk.